Dowód nierówności.
: 04 kwie 2021, 00:59
Założenie: \(a,b,c>0 \wedge a+b+c=3\)\(\)
Teza: \( \frac{ab+bc+ca}{abc} \ge 3\)
Wiem, że to zadanie da się zrobić wykorzystując nierówności między średnimi, ale za pierwszym razem tego nie zauważyłem i doszedłem do tego momentu:
\(ab+bc+ca \ge 3abc\)
\(c=3-a-b\)
Podstawiając ,,c'' i przekształcając otrzymuje taki twór:
\(ab+b(3-a-b)+a(3-a-b) \ge 3ab(3-a-b)\)
\(ab+3b-ab-b^2+3a-a^2-ab \ge 9ab-3a^2b-3ab^2\)
\(3b-b^2+3a-a^2-ab-9ab+3a^2b+3ab^2 \ge 0\)
\(3b-b^2+3a-a^2-10ab+3a^2b+3ab^2 \ge 0\)
Pomógłby ktoś doprowadzić to do jakiejś sensownej postaci ?
Z góry dziękuję za pomoc!
Teza: \( \frac{ab+bc+ca}{abc} \ge 3\)
Wiem, że to zadanie da się zrobić wykorzystując nierówności między średnimi, ale za pierwszym razem tego nie zauważyłem i doszedłem do tego momentu:
\(ab+bc+ca \ge 3abc\)
\(c=3-a-b\)
Podstawiając ,,c'' i przekształcając otrzymuje taki twór:
\(ab+b(3-a-b)+a(3-a-b) \ge 3ab(3-a-b)\)
\(ab+3b-ab-b^2+3a-a^2-ab \ge 9ab-3a^2b-3ab^2\)
\(3b-b^2+3a-a^2-ab-9ab+3a^2b+3ab^2 \ge 0\)
\(3b-b^2+3a-a^2-10ab+3a^2b+3ab^2 \ge 0\)
Pomógłby ktoś doprowadzić to do jakiejś sensownej postaci ?
Z góry dziękuję za pomoc!