forum.zadania.info

Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych \(a,\ b\) prawdziwa jest nierówność:
\( (a^3+b^3+1)( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+1) \ge (a+b+1)^2\)

Dowód wynika z nierówności pomiędzy średnimi: potęgową i arytmetyczną oraz arytmetyczną i harmoniczną:
\(1^\circ\ \sqrt[3]{{a^3+b^3+1\over3}}\ge{a+b+1\over3}\iff a^3+b^3+1\ge{(a+b+1)^3\over9}\)
\(2^\circ\ {a+b+1\over3}\ge\frac{3}{{1\over a}+{1\over b}+{1\over1}}\iff{1\over a}+{1\over b}+1\ge{9\over a+b+1} \)
Pozostaje wymnożyć...

Pozdrawiam