forum.zadania.info

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o boku a i kątach przyległych do tego boku \beta i \gamma . Spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Wyznacz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha

\(\delta\)- trzeci kąt w trójkącie podstawy

\(\delta=180^o-(\beta+\gamma)\\sin\delta=sin(\beta+\gamma)\)

b, c- długości pozostałych boków trójkąta podstawy

z twierdzenia sinusów:
\(\frac{b}{sin\beta}=\frac{a}{sin(\beta+\gamma)}\\b=\frac{a\cdot\ sin\beta}{sin(\beta+\gamma)}\)

\(\frac{c}{sin\gamma}=\frac{a}{sin(\beta+\gamma)}\\c=\frac{a\cdot\ sin\gamma}{sin(\beta+\gamma)}\)

Ze wzoru na pole trójkąta obliczam R- promień okręgu opisanego na tym trójkącie:
\(P=\frac{1}{2}acsin\beta=\frac{abc}{4R}\\R=\frac{a}{2sin(\beta+\gamma)}\)

Obliczam wysokość ostrosłupa:
\(\frac{H}{R}=tg\alpha\\H=Rtg\alpha=\frac{atg\alpha}{2sin(\beta+\gamma)}\)

Pole podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}acsin\beta=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\cdot\ sin\gamma}{sin(\beta+\gamma)}\cdot\ sin\beta=\frac{a^2sin\beta\ sin\gamma}{2sin(\beta+\gamma)}\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2sin\beta\ sin\gamma}{2sin(\beta+\gamma)}\cdot\frac{atg\alpha}{2sin(\beta+\gamma)}=\frac{a^3sin\beta\ sin\gamma\ tg\alpha}{12sin^2(\beta+\gamma)}\)