Punkt symetryczny względem prostej
: 13 mar 2021, 16:53
Znaleźć punkt symetryczny do punktu \(A(2,-1,3)\) względem prostej:
\( \begin{cases} x=3t\\
y=5t-7\\
z=2t+2\end{cases} \)
\( \begin{cases} x=3t\\
y=5t-7\\
z=2t+2\end{cases} \)
Szukamy rzutu punktu A na daną prostą.Tarkoczinko pisze: ↑13 mar 2021, 16:53 Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(2,-1,3) względem prostej:
x=3t
y=5t-7
z=2t+2
Jest to taki punkt A'(3t, 5t-7,2t+2) tej prostej, że wektor \(\vec{AA'}\) jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej, czyli \(\vec{k}=[3,5,2]\)
\(\vec{AA'}=[3t-2,5t-7+1,2t+2-3]=[3t-2,5t-6,2t-1]\). Warunek prostopadłości stanowi, że iloczyn skalarny \(\vec{AA'} \circ \vec{k}=0 \iff 3(3t-2)+5(5t-6)+2(2t-1)=0 \So t=1\), więc \(A'(3,-2,4)\).
Szukany punkt P(x,y,z) znajdziemy korzystając z faktu, że A' jest środkiem odcinka AP.
Wobec tego \( \begin{cases} \frac{x+2}{2}=3\\ \frac{y-1}{2}=-2 \\ \frac{z+3}{2}=4 \end{cases} \). Stąd
Odpowiedź: Punkt symetryczny do punktu A(2,-1,3) względem prostej
\( \begin{cases} x=3t\\ y=5t-7\\z=2t+2 \end{cases}\) ma współrzędne (4, -3, 5)