forum.zadania.info

Czy w poniższych przypadkach uzasadnienie jest ok?
1) \(f(x)=\sqrt{-x^3+x^2+x+6}\)
\(h(x)=-x^3+x^2+x+6\)
Pierwiastek jest funkcją rosnącą zatem f(x) i h(x) mają takie same przedziały monotoniczności, a ekstrema lokalne (tego samego typu) przyjmują dla tych samych argumentów.
2) \(f(x)= \left(\frac{1}{2}\right)^{x^3+x^2+1}\)
\(h(x)=x^3+x^2+1\)
Funkcja wykładnicza o podstawie z przedziału (0,1) jest funkcją malejącą, zatem f(x) i h(x) mają przeciwne przedziały monotoniczności, a ekstrema lokalne ( przeciwnego typu) przyjmują dla tych samych argumentów.

Poza stwierdzeniem "przeciwne przedziały monotoniczności" wszystko jest OK.

Czyli powinno być takie same?

Nie, nie! Tylko jest to niezrozumiałe. Wiadomo o co chodzi i jeśli takie sformułowanie spotkałeś już albo używacie go na lekcji, to nie ma sprawy.
Moim zdaniem przedziały monotoniczności są takie same, tylko rodzaj monotoniczności jest przeciwny.

Aaaa okej
Dziękuję bardzo!

W 1) funkcje mają różne dziedziny, więc bez sprawdzenia czy ekstrema do nich należą, powyższy wniosek jest nieuprawniony.

W jaki sposób mam to sprawdzić? W sensie chodzi mi tutaj o to, że do zadań optymalizacyjnych zostałem w szkole nauczony, żeby zawsze przy wykorzystywaniu funkcji pomocniczej przy optymalizacji pierwiastka napisać taką formułkę. Jest ona również strzelona w kryteriach maturalnych. Na czym dokładnie powinno polegać w takim razie sprawdzenie tych ekstremów?

To pewnie pytanie do mnie, lecz przegapiłem ten post.

Zauważ że w cytowanym przykładzie liczysz odległość, więc wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne dla każdej wartości parametru a, i stąd ekstremum pierwiastka jest tożsame z ekstremum wyrażenia podpierwiastkowego.
Jednak w przykładzie 1) tak nie jest. Bez sprawdzenia czy argument dla którego uzyskujesz ekstremum należy do dziedziny pierwiastka (albo czy wartość uzyskanego ekstremum jest nieujemna) nie można stwierdzić istnienia tego ekstremum (choć jest to ekstremum wyrażenia podpierwiastkowego).


Ciekawe co powiesz o ekstremach funkcji:
a) \(y= \sqrt{2x^4-4x^2-1}\)
b) \(y= \sqrt{2x^4-4x^2+1}\)

Okej, rzeczywiście teraz widzę. Dziękuję bardzo. Po prostu nie sprecyzowałem pytania, ponieważ w zadaniach optymalizacyjnych, zawsze ta dziedzina jest dostosowana do zadania, tutaj nic nie wspomniałem o dziedzinie i rzeczywiście to ma sens

Wybacz, że jeszcze dopytam, ale naszła mnie jeszcze jedna myśl.
W takim zadaniu:
Znajdź punkt na wykresie funkcji \(f(x)=x^2\) leżący najbliżej punktu \(A=(3,0)\).
W takim punkt na wykresie tej funkcji mogę oznaczyć jako \(P(x,x^2)\) gdzie \(x \in R\) zatem optymalizowaną funkcją będzie funkcja: \(|AP|= \sqrt{(x-3)^2+x^4}\) czyli \(|AP|= \sqrt{x^4+x^2-6x+9} \)
\(f(x)=x^4+x^2-6x+9\)
I w tym przypadku mimo, że dziedziny tych funkcji są rożne to wykorzystano tą formułkę: ,,Pierwiastek jest funkcją rosnącą zatem f(x) i AP mają takie same przedziały monotoniczności a ekstrema lokalne tego samego typu przyjmują dla tych samych argumentów".
Czyli dobrze rozumiem, że w takim przypadku błędnie sformułowali to zdanie?

EDIT: Przepraszam, nie zauważyłem że funkcja pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnia, pora iść spać