forum.zadania.info

wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
\((x^2+2)^4 -x^4-4x^2 \ge 6 \)
robię nie wprost
mam \((x^2+2)^4-(x^2+2)^2-2<0\)
\(t= (x^2+2)^2\), \(t \ge 0\)
\(t^2-t-2<0\)
\(t_1=-1\)
\(t_2=2\)
\(t \in (-1,2) \) i \(t \ge 0\)
czyli bym miał \(t \in <0,2)\)
i bym miał dwie nierówności, tylko nic mi z tego nie chce wyjść

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 10:50 wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
\((x^2+2)^4 -x-4x^2 \le 6 \)

ale to jest nieprawda

eresh pisze: ↑10 mar 2021, 10:58

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 10:50 wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
\((x^2+2)^4 -x-4x^2 \le 6 \)

ale to jest nieprawda

już powinna być prawda.

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 10:50
mam \((x^2+2x)^4-(x^2+2)^2-2<0\)
\(t= (x^2+2x)^2\), \(t \ge 0\)
\(t^2-t-2<0\)

tu też jest źle

eresh pisze: ↑10 mar 2021, 11:25

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 10:50
mam \((x^2+2x)^4-(x^2+2)^2-2<0\)
\(t= (x^2+2x)^2\), \(t \ge 0\)
\(t^2-t-2<0\)

tu też jest źle

może jest, ale tu już nie widzę dlaczego i co jest źle?
komentarz może powinien być, że przypuśćmy, że \((x^2+2)^4 -x^4-4x^2 < 6\)

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 11:32

eresh pisze: ↑10 mar 2021, 11:25

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 10:50
mam \((x^2+2x)^4-(x^2+2)^2-2<0\)
\(t= (x^2+2x)^2\), \(t \ge 0\)
\(t^2-t-2<0\)

tu też jest źle

może jest, ale tu już nie widzę dlaczego i co jest źle?

źle podstawiona zmienna pomocnicza

ale dalej nic mi z tych nierówności nie wychodzi

bo masz nierówność w złą stronę

gdzie niby na początku jest \(\ge\), ja temu jakby zaprzeczam to mam \(<\)

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 11:41 gdzie niby na początku jest \(\ge\), ja temu jakby zaprzeczam to mam \(<\)

a, ok

Ja bym rozpatrzył wielomian
\(w(x)=(x^2+2)^4 -x^4-4x^2 -6 =(x^2+2)^4-(x^2+2)^2-2=\\ \qquad
=[(x^2+2)^2-2][(x^2+2)^2+1]=(x^4+4x^2+2)[(x^2+2)^2+1]\ge10>0\)
gdzie równość zachodzi dla \(x=0\)

Pozdrawiam
PS. W rachunkach wykorzystałem Twoje \(t\)

Przeczytałem Twój post ze zrozumieniem...

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 10:50 \(t= (x^2+2)^2\), \(t \ge 0\)

Nie, \(t\ge (0+2)^2=4\)

Pawm32 pisze: ↑10 mar 2021, 10:50 \(t \in (-1,2) \) i \(t \ge \color{red}{4}\)

czyli \(t\in\emptyset\)

Pozdrawiam