forum.zadania.info

Mógłby mi ktoś pomóc z tymi zadankami? Chorowałem ostatnio i mam trochę zaległości i zupełnie nie wiem jak to stwory rozwiązać. Wiem tylko tyle, że podczas obliczeń/w wynikach pojawi się liczba e.

1. Zbadaj zbieżność szeregu.
\(\sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{n^5}{2^n + 3^n}\)

2. Zbadaj zbieżność szeregu.
\(\sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{n^{1+ \frac{1}{n} }}{ \left( 2n + \frac{1}{n} \right)^n }\)

3. Zbadaj zbieżność szeregu.
\(\frac{1}{ \sqrt{2} - 1 } - \frac{1}{ \sqrt{2} + 1 } + \frac{1}{ \sqrt{3} - 1 } - \frac{1}{ \sqrt{3} + 1 }\)

ten pierwszy to wydaje mi sie ze tak powinien byc zrobiony
\(a_{n+1}=\frac{(n+1)^5}{(2^n)*2+(3^n)*3}\)
\(\lim_{n\to +\infty}|\frac{(n+1)^5*(2^n+3^n)}{(2^n*2+3^n*3)*n^5}|=(\frac{n+1}{n})^5\frac{(2^n+3^n)}{(2^n*2+3^n*3)}=(1+\frac{1}{n})^5*\frac{(\frac{2}{3})^n+1}{(\frac{2}{3})^n+3}=e^5*\frac{1}{3}\)
oczywiscie wszedzie po = jest lim przy n dążacym do nieskonczoności

anex12345 pisze:ten pierwszy to wydaje mi sie ze tak powinien byc zrobiony
\(a_{n+1}=\frac{(n+1)^5}{(2^n)*2+(3^n)*3}\)
\(\lim_{n\to +\infty}|\frac{(n+1)^5*(2^n+3^n)}{(2^n*2+3^n*3)*n^5}|=(\frac{n+1}{n})^5\frac{(2^n+3^n)}{(2^n*2+3^n*3)}=(1+\frac{1}{n})^5*\frac{(\frac{2}{3})^n+1}{(\frac{2}{3})^n+3}=e^5*\frac{1}{3}\)
oczywiscie wszedzie po = jest lim przy n dążacym do nieskonczoności

Jeśli chodzi o to obliczenie, to wskazówka o e w wyniku jest błędna. Nie należy się nią sugerować

\((1+\frac{1}{n})^5 \to 1^5=1\), a zatem szukana granica wychodzi równa 1/3 co jest mniejsze od 1 a więc szereg jest zbieżny z kryterium d'Alemberta.

Można obliczyć również granicę, która występuje w kryterium Cauchy'ego
\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt[n]{n})^5}{\sqrt[n]{2^n+3^n}}=\frac{1}{3}\)
i również otrzymać zbieżność. Z tym że tutaj zazwyczaj wynik należałoby uzasadnić np. korzystając z tw. o trzech ciągach, więc z d'Alemberta jest chyba łatwiej.

W drugim przypadku znów mamy wybór jednego z tych dwóch kryteriów. Użyjmy d'Alemberta:
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{1+\frac{1}{n+1}}(2n+\frac{1}{n})^n}{(2n+2+\frac{1}{n+1})^{n+1}n^{1+\frac{1}{n}} }=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\frac{\sqrt[n+1]{n+1}(2n+\frac{1}{n})^n}{(2n+2+\frac{1}{n+1})^{n}(2n+1+\frac{1}{n+1})\sqrt[n]{n} }= 0\).
Trochę mnie zmęczył ten przykład i nie rozpisuję tego do końca.

Wydaje się jednak, że szereg jest szybko zbieżny i można go uprościć stosując kryterium porównawcze:
\(\frac{n^{1+\frac{1}{n}}}{(2n+\frac{1}{n})^n}\le \frac{n^2}{(2n)^n}\)
A z tym szeregiem już łatwiej. Ale też nie wyjdzie e.

W tym trzecim są rozumiem trzy kropki na końcu?
Chyba też jest na kryterium porównawcze, ale tym razem wyjdzie rozbieżny. Można spróbować pogrupować wyrazy parami i to co dostaniemy przypomina szereg harmoniczny, a więc rozbieżny. Tu także nie przewiduję liczby e w rachunkach.