Dowód z matury podstawowej.

[gr4vity]

Wiem, że być może to głupie pytanie, ale zaskoczyło mnie trochę zadanie na maturze podstawowej.
\(f(x)=x^2+bx+c\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż że \(1+c>b\)
Wiem, że skoro funkcja nie ma miejsc zerowych a współczynnik ,,a'' jest dodatni to funkcja skierowana jest w górę i znajduje się na osią OX. Zatem wiem że prawdziwe jest równanie \(f(-1)>0\) zatem \(1-b+c>0 \) zatem \(1+c>b\).
Domyślam się, że taki dowód jest niepoprawny ponieważ, udowodniłem to dla liczby -1.
Jak zatem dowieść to poprawnie ?

[zaba557]

Mam nadzieję, że nigdzie nie popełniłem błędu, ale dowiódłbym to w taki sposób:

Skoro \(x^2 + bx + c\) nie ma miejsc zerowych (w zbiorze liczb rzeczywistych), to \(\Delta = b^2 - 4c < 0\).
Stąd mamy, że \(4c > b^2\).
\(b^2\) jest na pewno nieujemne (kwadrat liczby rzeczywistej) a więc c musi być liczbą dodatnią.

Zauważamy, że wobec tego dla \(b<0\) teza zawsze będzie spełniona (\(1 + c\) będzie na pewno dodatnie, a \(b\) jest ujemne).

Wystarczy zatem rozważyć przypadek, w którym \(b \geq 0\). W takim przypadku, możemy równoważnie przekształcić tezę:
\(1 + c > b \Leftrightarrow c^2 + 2c + 1 > b^2\) (gdybyśmy nie byli pewni, czy b jest nieujemne, nie moglibyśmy tego tak zrobić).

Dalej zauważamy, że \(c^2+2c+1>4c>b^2\), bo \(c^2+2c+1>4c \Leftrightarrow c^2-2c+1>0 \Leftrightarrow (c-1)^2>0 \), co jest prawdziwe dla dowolnego niezerowego rzeczywistego \(c\) (dowiedliśmy już wcześniej, że \(c\) jest dodatnie).

To, że \(4c>b^2\) oczywiście dowiedliśmy wcześniej.

Dowiedliśmy zatem, że własność ta zachodzi w obu przypadkach, co kończy dowód.

[panb]

Wiem, że być może to głupie pytanie, ale zaskoczyło mnie trochę zadanie na maturze podstawowej.
\(f(x)=x^2+bx+c\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż że \(1+c>b\)
Wiem, że skoro funkcja nie ma miejsc zerowych a współczynnik ,,a'' jest dodatni to funkcja skierowana jest w górę i znajduje się nad osią OX. Zatem wiem że prawdziwe jest równanie \(f(-1)>0\) zatem \(1-b+c>0 \) zatem \(1+c>b\).
Domyślam się, że taki dowód jest niepoprawny ponieważ, udowodniłem to dla liczby -1.

Dowód jest całkowicie poprawny (i elegancki).
Twierdzenie dotyczyło liczb b i c. Skorzystałeś z własności funkcji f(x)>0 dla wszystkich x z założenia.
Udowodniłeś przy pomocy \(f(-1)\), a nie dla liczby (-1).
To bardzo sprytny sposób. Jak na to wpadłeś?

[gr4vity]

Przekształciłem sobie tezę do postaci \(1+c-b>0\), popatrzyłem na funkcję i skapnąłem się, że jak podstawie pod funkcję argument ,,-1'' to dostanę to samo. Później zbadałem sobie jak wygląda ta funkcja i dopisałem znak nierówności wynikający z tego, że funkcja jest zawsze f(x) jest zawsze dodatnia.
Dzięki za pomoc!

[kerajs]

\( \Delta <0 \ \ \So \ \ b^2-4c<0 \ \ \So \ \ c> \frac{b^2}{4} \ \ \So \ \ c+1> \frac{ \frac{b^2}{2}+2 }{2} \ \ \So \\
\\
\So \ \ c+1> \sqrt{\frac{b^2}{2}\cdot 2} \ \ \So \ \ c+1>|b| \ \ \So \ \ c+1>b\)