forum.zadania.info

Rozwiąż równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach metodą przewidywań oraz metodą uzmienniania stałej:
\(a) y' + y = x^2\\
b) y' - 2y = sin(x)\\
c) y' + 3y = xe^{2x}\\
d) y' - y = xcos(x)\)

np.>>>>>> https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/ti ... dywa%C5%84

mout pisze: ↑04 mar 2021, 12:02 Rozwiąż równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach metodą przewidywań oraz metodą uzmienniania stałej:
\(a) y' + y = x^2\)

Najpierw równanie jednorodne (do obu metod):
\[y'+y=0 \iff \frac{dy}{dx}=-y \So \frac{dy}{y}=-dx \So \int \frac{dy}{y}=-\int dx \So \ln y=-x\\y_0=Ce^{-x} \]

1. metoda przewidywań: przewidujemy, że rozwiązanie \(y=y_0+y_s\)
   Skoro po prawej stronie stoi \(x^2\), przewidujemy (tutaj szczegóły), że \(y_s=ax^2+bx+c\).
   Współczynniki a, b i c dobierzemy tak, aby \(y_s'+y_s=x^2\)
   \(y_s'=2ax+b \So y_s'+y_s=2ax+b+ax^2+bx+c\\
   2ax+b+ax^2+bx+c\equiv x^2 \iff \begin{cases} a=1\\2a+b=0\\b+c=0\end{cases} \iff a=1, \, \,b=-2,\,\, c=2\)
   Zatem \(y_s=2x^2-2x+2\), a wzór funkcji będącej rozwiązaniem tego równania różniczkowego ma postać
   \[y=Ce^{-x}+x^2-2x+2\]
2. metoda uzmienniania stałej
   W rozwiązaniu równania jednorodnego \(y=Ce^{-x}\) uznajemy, że C nie jest stałą niezależną od iksa , a od niego zależy, czyli \(C=C(x)\) i funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego ma postać \(y=C(x)e^{-x}\).
   Skoro jest rozwiązaniem, to \(y'+y=x^2, \text{ ale } y'=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}\), więc
   \(y'+y=x^2 \iff C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x} +C(x)e^{-x}=x^2\iff C'(x)e^{-x}=x^2 \iff C'(x)=x^2e^x\)
   Skoro \(C'(x)=x^2e^x \So C(x)=\int x^2e^x\,{dx}= \begin{vmatrix}u=x^2&du=2xdx\\dv=e^x\,{dx}&v=e^x \end{vmatrix}\stackrel{\text{przez części}}{=} x^2e^x-2\int xe^x\,{dx}=\dots\\C(x)=x^2e^x-2xe^x+2e^x+c\)
   W takim razie \[ y=C(x)e^{-x}=(x^2e^x-2xe^x+2e^x+c)e^{-x}=ce^{-x}+x^2-2x+2\]

I to by było na tyle.
Pozostałe spróbuj samodzielnie.

Już rozumiem, dziękuję ślicznie.