forum.zadania.info

Na element masy m umieszczony wewnątrz jednorodnej kuli o masie M i promieniu R w odległości r od jej środka działa siła grawitacji pochodząca od kuli o promieniu r. Pozostała część masy tworząca zewnętrzny płaszcz o grubości (R-r) nie ma wpływu na wartość siły grawitacji. Wyznacz dwie wartości odległości od środka Ziemi, dla których przyspieszenie grawitacyjne jest równej jednej trzeciej wartości przyśpieszenia na powierzchni Ziemi.
Odpowiedź: r=R/3 i r=Rpierwiastek z 3.

\(a= \frac{GM_Z}{(R_Z)^2} \)
1) Z oporami, ale tu błąd jest niewielki:
\(x>R_Z \ : \\
\frac{a}{3} = \frac{GM_Z}{(x)^2} \\
\frac{GM_Z}{3(R_Z)^2}= \frac{GM_Z}{x^2} \\
x= \sqrt{3}R_Z
\)
2)
Drugiego przypadku nie rozwiązuję gdyż nie zamierzam pisać głupot. Wynik wskazany w książce jest dla jednorodnej kuli o masie Ziemi i jej średnim promieniu, ale nie dla Ziemi. Tego nikt nie umie policzyć.

Jeżeli przyjmiemy, że Ziemia jest jednorodną kulą o gęstości: \(\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\Pi R^3}\) ,
to masa kuli wewnętrznej o promieniu r wyniesie: \(m = M\frac{r^3}{R^3}\)
oraz przyspieszenie grawitacyjne od tej mniejszej kulki: \(g(r) =\frac{GMr}{R^3}\)

uwzględniając warunek: \(g(r) = \frac{1}{3}g(R)\)

otrzymamy wynik: \(r = \frac{R}{3}\).

Hola, hola, to zupełnie inne zadanie. Treść zadania jest jednoznaczna :
''Wyznacz dwie wartości odległości od środka Ziemi, dla których przyspieszenie grawitacyjne jest równej jednej trzeciej wartości przyśpieszenia na powierzchni Ziemi.''
więc założenie ''Jeżeli przyjmiemy, że Ziemia jest jednorodną kulą '' jest całkowicie bezzasadne.