forum.zadania.info

Dzień dobry,

Mam zadanie na dowodzenie, które wygląda tak:

Założenia:
\(a>0 \wedge b<0 \wedge 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab\)

Teza:
\( \frac{3a-2b}{a+2b} = 11\)

Mój sposób na zrobienie tego wyglądałby tak:
\(3a - 2b = 11a + 22 b\)
\(a = -3b\)

Teraz podstawiłbym za niewiadomą \(a\) w równaniu \( 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab \) wyrażenie \(-3b\) i otrzymałbym, że \(0=0\), czyli lewa strona jest równa stronie prawej.

I teraz pytanie: Czy tak mogę dowodzić? Dowody, które widziałem działały w drugą stronę, tzn. wykorzystując równania ( najczęściej jedno ) w założeniach i przeprowadzając na nich jakieś operacje przenoszenia itd. podstawiałem odpowiednie wyrażenia, które tam wyszły ( np. \(a = 2 b\) ) do równania z tezy i w tezie otrzymywałem "wynik", że lewa strona równa się prawej. Tutaj natomiast działam niejako tylko na tezie i podstawiam do równania z założenia i to tam wychodzi, że lewa jest równa prawej.

tyk3 pisze: ↑27 lut 2021, 14:21 Dzień dobry,

I teraz pytanie: Czy tak mogę dowodzić?

Tak nie można.
Udowodniłeś, że jeśli \( \frac{3a-2b}{a+2b} = 11\), to \( 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab\)

tyk3 pisze: ↑27 lut 2021, 14:21 Dzień dobry,

Mam zadanie na dowodzenie, które wygląda tak:

Założenia:
\(a>0 \wedge b<0 \wedge 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab\)

Teza:
\( \frac{3a-2b}{a+2b} = 11\)

Potraktujmy warunek \(3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab\) jako równanie kwadratowe zmiennej b.
\(3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab \iff 3b^2-8ab-3a^2=0\\
\Delta_b=64a^2+26a^2=100a^2 \So \sqrt{\Delta_b}=10a\,\, (\text{a>0, więc nie trzeba wartości bezwzględnej})\\
b_1=-\frac{1}{3}a,\,\,\, b_2=3a\)
Rozwiązanie \(b_2\) musimy odrzucić, bo liczby a i b mają być różnych znaków.
Wobec tego \(a>0 \wedge b<0 \wedge 3b ^{2} = 3a ^{2} +8ab \So a=-3b \) - wygląda znajomo, co?
Teraz wstawiamy to "odkrycie" do tezy:
\[ \frac{3a-2b}{a+2b} = \frac{-9b-2b}{-3b+2b}=\frac{-11b}{-b}=11\] co daje tezę.