forum.zadania.info

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), gdzie \(a\in R\), dla których:
a) nierówność \((a-2)x^2+ax+a-2<0\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą,
b) dziedziną funkcji \(f(x)=\sqrt{(a+1)x^2+4x+a+1}\) jest zbiór \(R\)

prosiłbym o rozpisanie warunków do tych zadań

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:07 Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), gdzie \(a\in R\), dla których:
a) nierówność \((a-2)x^2+ax+a-2<0\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą,

\(a-2<0\\
\Delta<0\)

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:07 Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), gdzie \(a\in R\), dla których:
b) dziedziną funkcji \(f(x)=\sqrt{(a+1)x^2+4x+a+1}\) jest zbiór \(R\)

\(a+1>0\\
\Delta\leq 0\)

eresh pisze: ↑20 lut 2021, 18:26

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:07 Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), gdzie \(a\in R\), dla których:
a) nierówność \((a-2)x^2+ax+a-2<0\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą,

\(a-2<0\\
\Delta<0\)

czy mogłabyś mi wytłumaczyć dlaczego akurat takie warunki? z tych warunkow, ktore rozpisalas wychodzi, że ramiona paraboli są skierowane do dołu i delta nie ma rozwiązań, czyli znajduje się pod osią x, ale dlaczego akurat tak?

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:46

eresh pisze: ↑20 lut 2021, 18:26

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:07 Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), gdzie \(a\in R\), dla których:
a) nierówność \((a-2)x^2+ax+a-2<0\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą,

\(a-2<0\\
\Delta<0\)

czy mogłabyś mi wytłumaczyć dlaczego akurat takie warunki? z tych warunkow, ktore rozpisalas wychodzi, że ramiona paraboli są skierowane do dołu i delta nie ma rozwiązań, czyli znajduje się pod osią x, ale dlaczego akurat tak?

Nierówność ma być spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą
Najpierw sprawdzasz warunek \(a=2\) (czyli nierówność liniowa), ale wtedy nierówność nie jest spełniona przez każdą liczbę.
Czyli pozostaje przypadek nierówności kwadratowej.
Kiedy funkcja kwadratowa przyjmuje jedynie wartości ujemne - wtedy gdy parabola będąca jej wykresem jest cała pod osią OX, czyli gdy jej ramiona będą skierowane w dół i nie będzie miała miejsc zerowych - stąd podane przeze mnie warunki.

eresh pisze: ↑20 lut 2021, 18:30

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:07 Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), gdzie \(a\in R\), dla których:
b) dziedziną funkcji \(f(x)=\sqrt{(a+1)x^2+4x+a+1}\) jest zbiór \(R\)

\(a+1>0\\
\Delta\leq 0\)

i tutaj również proszę o wytłumaczenie

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:58

eresh pisze: ↑20 lut 2021, 18:30

mefikx pisze: ↑20 lut 2021, 18:07 Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), gdzie \(a\in R\), dla których:
b) dziedziną funkcji \(f(x)=\sqrt{(a+1)x^2+4x+a+1}\) jest zbiór \(R\)

\(a+1>0\\
\Delta\leq 0\)

i tutaj również proszę o wytłumaczenie

Skoro dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, to dla każdego x rzeczywistego musi zachodzić warunek
\((a+1)x^2+4x+a+1\geq 0
\)
Spróbuj odpowiedzieć na pytanie: kiedy funkcja kwadratowa przyjmuje wartości nieujemne?
(Oczywiście trzeba też rozważyć przypadek funkcji liniowej - analogicznie jak poprzednio)