forum.zadania.info

Przyjmijmy dowolny ciąg liczb dodatnich \(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\) sumujących się do \(1+\epsilon\), gdzie \(\epsilon\ge 0\). Udowodnij, że wielomian \(p\in\pi_n(\mathbb{C})\) postaci \(p(z)=z^n-\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k z^k\) ma co najmniej jeden pierwiastek \(z\ge 1\).

Nie mam czasu na głębsze zastanowienie, ale spójrz na twierdzenie Rouche.

kamwik16 pisze: ↑20 lut 2021, 15:45 Przyjmijmy dowolny ciąg liczb dodatnich \(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\) sumujących się do \(1+\epsilon\), gdzie \(\epsilon\ge 0\). Udowodnij, że wielomian \(p\in\pi_n(\mathbb{C})\) postaci \(p(z)=z^n-\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k z^k\) ma co najmniej jeden pierwiastek \(z\ge 1\).

Nie do końca poprawnie zapisałem treść. Poniżej poprawiona wersja:
Przyjmijmy dowolny ciąg liczb dodatnich \(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\) sumujących się do \(1+\epsilon\), gdzie \(\epsilon\ge 0\). Udowodnij, że wielomian \(p\in\pi_n(\mathbb{C})\) postaci \(p(z)=z^n-\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k z^k\) ma co najmniej jeden pierwiastek spełniający warunek \(|z|\ge 1\).

szw1710 pisze: ↑20 lut 2021, 17:36 Nie mam czasu na głębsze zastanowienie, ale spójrz na twierdzenie Rouche.

Nigdy nie stosowałem tego twierdzenia. Jeżeli znalazłbyś trochę czasu, to jesteś w stanie mnie naprowadzić na zamysł tego dowodu?

Gdyby zachodziła nierówność\[|z^n|\leqslant\left|\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kz^k\right|\]na okręgu \(|z|=1\), czyli zwyczajnie\[1\leqslant\left|\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kz^k\right|\]na tym okręgu, to z twierdzenia Rouchego w kole \(|z|<1\) wielomiany\[-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kz^k\quad\text{oraz}\quad p(z)\] mają tyle samo miejsc zerowych. No ale ta suma ma ich co najwyżej \(n-1\). A \(p(z)\) ma \(n\) miejsc zerowych na mocy zasadniczego twierdzenia algebry. No więc prosty wniosek, że przynajmniej jedno z nich ma moduł większy lub równy \(1.\) Ale chyba nie ma szans na tę nierówność. To pewne pomysły przy niedzieli...