Zadania z algebry (liczby zespolone, macierze) - pomoc
: 18 lut 2021, 22:37
Witam, prosiłbym o pomoc we wskazaniu poprawnych odpowiedzi (więcej niż jedna może być poprawna) i możliwe o wyjaśnienie dlaczego dokładnie te w tych zadaniach:
1. Metodą macierzową rozwiąż równanie:
\( \begin{bmatrix}1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix} \cdot X + X - {\begin{bmatrix}1&3 \\ 2&5 \end{bmatrix}}^T=3 \cdot \begin{bmatrix}-2&1 \\ 1&2 \end{bmatrix} \)
a) \( X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -37&3 \\ 27&7 \end{bmatrix} \)
b) \( X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}}^{-1} \)
c) \( \begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} \)
2. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę: \( z = 2-2 \sqrt{3i} \), a następnie oblicz \( z^3 \)
a) argument główny liczby \( z \) wynosi \( \frac{5}{3}\pi \)
b) \( z^3 = -64 \)
c) \( |z^3| = 64 \)
3. Rozwiąż równanie \( (z^3-i)(z^2-z+5)=0 \)
a) jednym z pierwiastków jest liczba \( -i \)
b) \( z\in \begin{cases} -i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{1-i\sqrt{19}}{2}+ \frac{1+i\sqrt{19}}{2} \end{cases} \) (prawa klamerka której nie potrafiłem zrobić)
c) równanie ma 5 pierwiastków rzeczywistych
4. Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej \( \frac{i^5\cdot (2+i)}{{(3+2i)^2}} \)
a) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169}i \)
b) \( z = \frac{19}{169}+i\frac{22}{169} \)
c) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169} \)
W razie gdybym się pomylił i wyniki nie pasowałyby z zadaniem tutaj są zdjęcia zadań:
1 i 2: https://imgur.com/CGAtc2i
3 i 4: https://imgur.com/9vLVIqX
Z góry dziękuje za pomoc.
1. Metodą macierzową rozwiąż równanie:
\( \begin{bmatrix}1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix} \cdot X + X - {\begin{bmatrix}1&3 \\ 2&5 \end{bmatrix}}^T=3 \cdot \begin{bmatrix}-2&1 \\ 1&2 \end{bmatrix} \)
a) \( X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -37&3 \\ 27&7 \end{bmatrix} \)
b) \( X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}}^{-1} \)
c) \( \begin{bmatrix} 2&2 \\ 3&5 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -5&5 \\ 6&11 \end{bmatrix} \)
2. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę: \( z = 2-2 \sqrt{3i} \), a następnie oblicz \( z^3 \)
a) argument główny liczby \( z \) wynosi \( \frac{5}{3}\pi \)
b) \( z^3 = -64 \)
c) \( |z^3| = 64 \)
3. Rozwiąż równanie \( (z^3-i)(z^2-z+5)=0 \)
a) jednym z pierwiastków jest liczba \( -i \)
b) \( z\in \begin{cases} -i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}, \frac{1-i\sqrt{19}}{2}+ \frac{1+i\sqrt{19}}{2} \end{cases} \) (prawa klamerka której nie potrafiłem zrobić)
c) równanie ma 5 pierwiastków rzeczywistych
4. Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej \( \frac{i^5\cdot (2+i)}{{(3+2i)^2}} \)
a) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169}i \)
b) \( z = \frac{19}{169}+i\frac{22}{169} \)
c) \( Rez = \frac{19}{169}, Imz = \frac{22}{169} \)
W razie gdybym się pomylił i wyniki nie pasowałyby z zadaniem tutaj są zdjęcia zadań:
1 i 2: https://imgur.com/CGAtc2i
3 i 4: https://imgur.com/9vLVIqX
Z góry dziękuje za pomoc.