Strona 1 z 1
Rozkład normalny dwa zadanka
: 18 lut 2021, 19:15
autor: superkumpel
1. Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(2,6)
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego oblicz prawdopodobieństwo
a) P(X>4)
b) P(X<-3)
2. Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,1) odczytaj przybliżoną wartość \(X_p\), taką, że
a) \( P(X<x_p)=0,78\)
b) \(P(|X|<x_p)=0,78\)
Re: Rozkład normalny dwa zadanka
: 18 lut 2021, 19:41
autor: panb
superkumpel pisze: ↑18 lut 2021, 19:15
1. Niech zmienna losowa
X ma rozkład normalny
N(2,6)
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego oblicz prawdopodobieństwo
a)
P(X>4)
b)
P(X<-3)
\(P(X>4)=1-P(X\le 4)=1-P \left( \frac{X-2}{6} \le \frac{4-2}{6} \right)=1-P \left(U\le 0,33 \right) =1-\Phi(0,333)=1-0,6293=37\% \\
P(X<-3)=P \left( \frac{X-2}{6} < \frac{-3-2}{6}\right) =P \left(U < -0,83 \right)=P(U>0,83)=1-P(U\le0,83)=1-0,79373=20\%\)
Re: Rozkład normalny dwa zadanka
: 18 lut 2021, 20:10
autor: janusz55
Zadanie 1
\( X \sim \mathcal{N}(2, 6) \)
Funkcja gęstości zmiennej losowej \( X \)
\( f_{(2,6)}(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} \)
b)
\( P(\{X < -3\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-3} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx \ \ (c) \)
Standaryzacja, czyli sprowadzenie do stablicowanego rozkładu \( \mathcal{N}(0,1). \)
W tym celu zamieniamy zmienne w całce \((c) \)
\( y = \frac{x - 2}{6}, \ \ dy = \frac{1}{6}dx, \ \ dx = 6\cdot dy. \)
\( P(\{ X < -3 \}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-3} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{-\frac{5}{6}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \phi \left(-\frac{5}{6}\right) - \phi \left(- \infty \right) - \phi(-\infty) = 1 - \phi \left(\frac{5}{6}\right)- 0. \)
Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu odczytujemy:
\( P(\{ X < -3 \}) = 1 - \phi\left(\frac{5}{6}\right ) = 1 - 0.7976716= 0.2023284.\)
a)
rozwiązujemy podobnie.
Re: Rozkład normalny dwa zadanka
: 18 lut 2021, 20:52
autor: janusz55
Zadanie 2
\( X \sim \mathcal{N}(2, 6) \)
Metoda podobna jak w zadaniu 1.
Znajdujemy wartość \( x_{p} \) taką, że
\( P( \{X< x_p\} )= 0,78.\)
Funkcja gęstości zmiennej losowej \( X \)
\( f_{(2,6)}(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} \)
a)
\( P(\{X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx \ \ (cc) \)
Standaryzacja, czyli sprowadzenie do stablicowanego rozkładu \( \mathcal{N}(0,1). \)
W tym celu zamieniamy zmienne w całce \((cc) \)
\( y = \frac{x - 2}{6}, \ \ dy = \frac{1}{6}dx, \ \ dx = 6\cdot dy. \)
\( P(\{ X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{x_{p} -2}{6}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \phi\left(\frac{x_{p} -2}{6} \right) - \phi (-\infty) = \phi \left(\frac{x_{p}-2}{6}\right)- 0 = 0,78. \)
Stąd
\(\phi\left(\frac{x_{p}-2}{6}\right) \approx \phi(0,77). \)
\( \frac{x_{p} -2}{6} = 0,77, \)
\( x_{p} -2 = 4,62, \)
\( x_{p} = 6,62.\)
b)
rozwiązujemy podobnie.
Re: Rozkład normalny dwa zadanka
: 22 lut 2021, 18:14
autor: superkumpel
janusz55 pisze: ↑18 lut 2021, 20:52
Zadanie 2
\( X \sim \mathcal{N}(2, 6) \)
Metoda podobna jak w zadaniu 1.
Znajdujemy wartość
\( x_{p} \) taką, że
\( P( \{X< x_p\} )= 0,78.\)
Funkcja gęstości zmiennej losowej
\( X \)
\( f_{(2,6)}(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} \)
a)
\( P(\{X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx \ \ (cc) \)
Standaryzacja, czyli sprowadzenie do stablicowanego rozkładu
\( \mathcal{N}(0,1). \)
W tym celu zamieniamy zmienne w całce
\((cc) \)
\( y = \frac{x - 2}{6}, \ \ dy = \frac{1}{6}dx, \ \ dx = 6\cdot dy. \)
\( P(\{ X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{x_{p} -2}{6}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \phi\left(\frac{x_{p} -2}{6} \right) - \phi (-\infty) = \phi \left(\frac{x_{p}-2}{6}\right)- 0 = 0,78. \)
Stąd
\(\phi\left(\frac{x_{p}-2}{6}\right) \approx \phi(0,77). \)
\( \frac{x_{p} -2}{6} = 0,77, \)
\( x_{p} -2 = 4,62, \)
\( x_{p} = 6,62.\)
b)
rozwiązujemy podobnie.
tu nie jest N(2,6) tylko N(0,1)
Re: Rozkład normalny dwa zadanka
: 22 lut 2021, 19:40
autor: janusz55
\( X \sim \mathcal{N}(0,1).\)
\( P (\{X< x_p\})= 0,78.\)
\( P (\{X< x_p\}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt = \phi(x_{p}) - \phi(-\infty) = \phi(x_{p}) - 0 = 0,78.\)
Stąd
\(\phi(x_{p}) \approx \phi( 0.77) \)
\( x_{p} =0,77. \)