1 Badano dzienny czas poświęcany przez dzieci w wieku przedszkolnym naoglądaniu telewizji. Uzyskano następujące wyniki na próbie przedszkolaków(w minutach): 132, 114, 51, 97, 117, 119, 122, 65, 109, 84, 85, 134, 133,107, 149. Czy zebrane wyniki potwierdzają przypuszczenia, że przedszkolaki spędzają na oglądaniu telewizji przeciętnie dwie godziny dziennie?
2 Promień koła jest zmienną losową o gęstości \(f(x)=e^{−x}\) dla \(x>0\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x≤0\). Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa pola tego koła.
Z góry dzięki za pomoc
Dwa zadanka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 21
- Rejestracja: 13 gru 2019, 22:33
- Podziękowania: 21 razy
- Płeć:
Dwa zadanka
Ostatnio zmieniony 14 lut 2021, 22:51 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wstawienie tagów LaTeX-a.
Powód: Wstawienie tagów LaTeX-a.
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Dwa zadanka
Na czym ta pomoc ma polegać?
ad 1.
Przeprowadzony test Shapiro-Wilka z dużą p-wartością daje brak podstaw do odrzucenia hipotezy, że wybrana próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym cechy.
Teraz przeprowadzamy test Studenta.
Średnia z próby skłania do przyjęcia lewostronnej hipotezy alternatywnej.
Odpowiedź jest wysoce niejednoznaczna. p-wartość na pozionie 5.2% mówi nam, że na poziomach istotności do 5% brak podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że czas oglądania TV to 2h. Na wyższych poziomach istotności odrzucamy tę hipotezę na rzecz alternatywnej, że ten czas jest krótszy.
Zrobię jeszcze test Studenta przy obustronnej hipotezie alternatywnej.
Tutaj p-wartość jest na poziomie 10.5%. Oznacza to, że na sensownych poziomach istotności brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Reasumując, te dane nie upoważniają nas do żadnego kategorycznego stwierdzenia. To jest moja opinia na podstawie wyników badań.
Uwaga: obliczenia - jak zawsze - przeprowadziłem w R.
ad 2. Wskazówka: pole koła o promieniu \(r\) to \(\pi r^2\). Rozkład zmiennej losowej wyznacza np. jego funkcja gęstości. Może też być dystrybuanta.
ad 1.
Kod: Zaznacz cały
> czas<-c(132, 114, 51, 97, 117, 119, 122, 65, 109, 84, 85, 134, 133,107, 149)
> shapiro.test(czas)
Shapiro-Wilk normality test
data: czas
W = 0.95227, p-value = 0.5609
Teraz przeprowadzamy test Studenta.
Kod: Zaznacz cały
> mean(czas)
[1] 107.8667
Kod: Zaznacz cały
> t.test(czas,mu=120,alternative = 'less')
One Sample t-test
data: czas
t = -1.731, df = 14, p-value = 0.05271
alternative hypothesis: true mean is less than 120
95 percent confidence interval:
-Inf 120.2124
sample estimates:
mean of x
107.8667
Zrobię jeszcze test Studenta przy obustronnej hipotezie alternatywnej.
Kod: Zaznacz cały
> t.test(czas,mu=120)
One Sample t-test
data: czas
t = -1.731, df = 14, p-value = 0.1054
alternative hypothesis: true mean is not equal to 120
95 percent confidence interval:
92.83294 122.90039
sample estimates:
mean of x
107.8667
Reasumując, te dane nie upoważniają nas do żadnego kategorycznego stwierdzenia. To jest moja opinia na podstawie wyników badań.
Uwaga: obliczenia - jak zawsze - przeprowadziłem w R.
ad 2. Wskazówka: pole koła o promieniu \(r\) to \(\pi r^2\). Rozkład zmiennej losowej wyznacza np. jego funkcja gęstości. Może też być dystrybuanta.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Dwa zadanka
Niech X - będzie zmienna losową o wartościach będących promieniem.MetalSkulkBane pisze: ↑14 lut 2021, 22:26 2 Promień koła jest zmienną losową o gęstości \(f(x)=e^{−x}\) dla \(x>0\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x≤0\). Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa pola tego koła.
Z góry dzięki za pomoc
Wtedy dystrybuanta \(\displaystyle F_X(x)=P(X\le x)= \int_{0}^{x} e^{-t}\,{dt}=1-e^{-x}\)
Jeśli Y będzie zmienną losową o wartościach będących polem koła o promieniu X, to jej dystrybuanta
\(\displaystyle F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\pi X^2\le y)=P\left(X\le \sqrt{ \frac{y}{\pi} }\right)=F_X\left( \sqrt{ \frac{y}{\pi} } \right)=1-e^{-\sqrt{ \frac{y}{\pi} }}\)
Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa pola tego koła ma postać \[F(x)= \begin{cases}1-e^{-\sqrt{ \frac{x}{\pi} }} &\text{dla }\,\, x>0\\ 0& \text{dla }\,\,x\le 0 \end{cases} \]
Gęstość rozkładu tej zmiennej otrzymamy obliczając pochodną \(F'(x)\) - pozostawiam to do samodzielnego wykonania.
-
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Dwa zadanka
Zadanie 1
Hipotezy:
\( H_{0}: \mu = 120 \ \ min,\)
\( H_{1}: \mu \neq 120 \ \ min.\)
Ustalamy poziom istotności testu
\( \alpha = 0,05.\)
Statystyką testową jest
\( T = \frac{\overline{X} - m_{0}}{S/\sqrt{n-1}} \)
Przy założeniu prawdziwości hipotezy \( H_{0}\) statystyka \( T \) ma rozkład Studenta z \( n-1 \) stopniami swobody.
Z uwagi na postać \( H_{1} \) - obszar krytyczny testu jest dwustronny
\( \mathcal{K} = (-\infty, -t_{\alpha}) \cup (t_{\alpha},\ \ \infty) \)
gdzie
wartość krytyczną \( t_{\alpha} \) dobieramy tak, by \( P(|T|\geq \alpha |H_{0}) = \alpha.\)
Obliczamy wartość statystyki \( T \) na podstawie \( 15 -\) elementowej próby.
W tym celu wykorzystamy program \( R \)
\( t = \frac{(107,9 -120) \cdot \sqrt{14}}{27,1} = -1,67 \)
Znajdujemy obszar krytyczny testu
\( t_{\alpha} = F^{-1}_{t, 14} \left( 0, 05\right) = 2,145. \)
\( \mathcal{K} = (-\infty, -2,145) \cup (2,145, \infty) \)
\( t = -1,67 \notin \mathcal{K} \)
Decyzja
Z prawdopodobieństwem \( 0,95 \) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \( H_{0}, \) że czas oglądalności telewizji przez przedszkolaków wynosi 120 minut ( 2 godziny).
Najmniejszy poziom istotności testu \( \alpha, \) dla którego odrzucamy hipotezę \( H_{0}, \) lub największy dla którego nie odrzucamy
\( p = P(|T|>|-1,67||H_{0}) = 2\cdot F_{t,14}(1,67) \approx 0,2.\)
Hipotezy:
\( H_{0}: \mu = 120 \ \ min,\)
\( H_{1}: \mu \neq 120 \ \ min.\)
Ustalamy poziom istotności testu
\( \alpha = 0,05.\)
Statystyką testową jest
\( T = \frac{\overline{X} - m_{0}}{S/\sqrt{n-1}} \)
Przy założeniu prawdziwości hipotezy \( H_{0}\) statystyka \( T \) ma rozkład Studenta z \( n-1 \) stopniami swobody.
Z uwagi na postać \( H_{1} \) - obszar krytyczny testu jest dwustronny
\( \mathcal{K} = (-\infty, -t_{\alpha}) \cup (t_{\alpha},\ \ \infty) \)
gdzie
wartość krytyczną \( t_{\alpha} \) dobieramy tak, by \( P(|T|\geq \alpha |H_{0}) = \alpha.\)
Obliczamy wartość statystyki \( T \) na podstawie \( 15 -\) elementowej próby.
W tym celu wykorzystamy program \( R \)
Kod: Zaznacz cały
> czas<-c(132,114,51,97,117,119,122,65,109,84,85,134,133,107,149)
> X = mean(czas)
> X
[1] 107.8667
> S = sd(czas)
> S
[1] 27.14739
Znajdujemy obszar krytyczny testu
\( t_{\alpha} = F^{-1}_{t, 14} \left( 0, 05\right) = 2,145. \)
\( \mathcal{K} = (-\infty, -2,145) \cup (2,145, \infty) \)
\( t = -1,67 \notin \mathcal{K} \)
Decyzja
Z prawdopodobieństwem \( 0,95 \) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \( H_{0}, \) że czas oglądalności telewizji przez przedszkolaków wynosi 120 minut ( 2 godziny).
Najmniejszy poziom istotności testu \( \alpha, \) dla którego odrzucamy hipotezę \( H_{0}, \) lub największy dla którego nie odrzucamy
\( p = P(|T|>|-1,67||H_{0}) = 2\cdot F_{t,14}(1,67) \approx 0,2.\)