Strona 1 z 1
Wektory własne, macierz przejścia
: 14 lut 2021, 18:21
autor: LukOThePolak
Wartościami własnymi pewnej macierzy A stopnia trzeciego są liczby \(\lambda_{1}=-1\), \(\lambda_{2}=2\), \(\lambda_{3}=-2\), a odpowiadającymi im wektorami własnymi są \(X_{1}=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}\),\(X_{2}=\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}\), \(X_{3}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\). Znajdź macierz przejścia P, a następnie oblicz \(A^{10}\).
Wiem, że mając wartości własne i wektory własne macierzy powinienem zacząć od wyznaczenia macierzy A. Nie mam pomysłu w jaki sposób mógłbym to zrobić. Proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie krok po kroku rozwiązania. Z góry dziękuję.
Re: Wektory własne, macierz przejścia
: 14 lut 2021, 19:02
autor: panb
LukOThePolak pisze: ↑14 lut 2021, 18:21
Wartościami własnymi pewnej macierzy A stopnia trzeciego są liczby
\(\lambda_{1}=-1\),
\(\lambda_{2}=2\),
\(\lambda_{3}=-2\), a odpowiadającymi im wektorami własnymi są
\(X_{1}=\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}\),
\(X_{2}=\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}\),
\(X_{3}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\). Znajdź macierz przejścia P, a następnie oblicz
\(A^{10}\).
Wiem, że mając wartości własne i wektory własne macierzy powinienem zacząć od wyznaczenia macierzy A. Nie mam pomysłu w jaki sposób mógłbym to zrobić. Proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie krok po kroku rozwiązania. Z góry dziękuję.
Macierz A znajdziesz rozwiązując 9 (łatwych) równań z dziewięcioma niewiadomymi:
\(AX_i=\lambda_iX_i,\,\,\, i=1, 2, 3\)
Jeśli
\(A= \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix} \), to pierwsze równanie
\(AX_1=\lambda_1X_1 \iff \begin{cases}2a+c=-2\\2d+f=0\\2g+i=-1 \end{cases} \).
Jeśli się nie pomylisz, to wyjdzie
\[A= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -3\\0&-2&0\\ -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \]
Re: Wektory własne, macierz przejścia
: 14 lut 2021, 19:06
autor: panb
Drugi krok, to znalezienie macierzy diagonalnej \(D=P^{-1}AP\), gdzie P jest macierzą zbudowana z kolumn wektorów własnych: \(P= \begin{bmatrix}2&2&1\\0&0&1\\1&-1&0 \end{bmatrix} \)
Dasz radę?
Potem już łatwo policzysz \(A^{10}=PD^{10}P^{-1}\).
Re: Wektory własne, macierz przejścia
: 14 lut 2021, 19:12
autor: LukOThePolak
Teraz na pewno dam radę;) Bardzo dziękuję za wyjaśnienie.