forum.zadania.info

Ile różnych par tanecznych można utworzyć z 10 dziewczynek i 10 chłopców?

Numerujemy chłopców i dziewczynki. Pierwszemu chłopcu można przypisać jedną z 10 dziewcząt, drugiemu już jedną z 9 itd. W konsekwencji mamy \(10\cdot 9\cdot 8\cdot\ldots\cdot 1=10!\) możliwości.

Moim zdaniem tutaj jest bardzo namieszane bo to można dwojako interpretować. Po pierwsze zakładamy że para to chłopak i dziewczyna a nie na przykład dziewczyna z dziewczyną czy chłopak z chłopakiem. Jeśli chodzi o to na ile sposobów można utworzyć układ różnych par no to rzeczywiście 10!. Ale jeśli rozumieć treść ile można stworzyć różnych par w sensie pojedynczych układów dziewczynka - chłopiec no to 100 każdy z 10 chłopców może wybrać jedną z 10 dziewczyn. Jeśli z kolei dopuścić pary taneczne że dziewczyna -dziewczyna lub chłopak -chlopak to będzie już 190 takich możliwości bo to jest (20*19)/2

Nie, nie każdy z 10 chłopców może wybrać jedną z 10 dziewczyn, a tylko pierwszy.

Jeżeli dopuścimy

Quan pisze: ↑02 mar 2023, 16:29 ... na przykład dziewczyna z dziewczyną czy chłopak z chłopakiem. ...

to liczbę takich "par" określić można z wykorzystaniem permutacji z powtórzeniami:
\[\frac{{20!\over(2!)^{10}}}{10!}\]
bo dwudziestu osobom ustawionym w szeregu przyporządkowujemy dziesięć par kotylionów, przy czym jeżeli kotyliony permutujemy, pary pozostają tak samo ustalone!

Pozdrawiam
PS. A wystarczyło w w treści zadania umieścić "heteroseksualnych par"... Sodoma i Gomora

Jerry pisze: ↑02 mar 2023, 22:02 Jeżeli dopuścimy

Quan pisze: ↑02 mar 2023, 16:29 ... na przykład dziewczyna z dziewczyną czy chłopak z chłopakiem. ...

to liczbę takich "par" określić można z wykorzystaniem permutacji z powtórzeniami:
\[\frac{{20!\over(2!)^{10}}}{10!}\]
bo dwudziestu osobom ustawionym w szeregu przyporządkowujemy dziesięć par kotylionów, przy czym jeżeli kotyliony permutujemy, pary pozostają tak samo ustalone!

Pozdrawiam
PS. A wystarczyło w w treści zadania umieścić "heteroseksualnych par"... Sodoma i Gomora

Po co to tak komplikować ?
Jeśli pary nie muszą być heteroseksualne to po prostu wybieramy dwuelementowe podzbiory ze zbioru dwudziestoelementowego czyli jest ich \( { 20\choose 2} = \frac{20 \cdot 19}{2} \) (tak jak napisał (a) Quan )

radagast pisze: ↑03 mar 2023, 12:21 Po co to tak komplikować ?

I ja i szw1710 i Tulio przyjęliśmy, że wszyscy mają tańczyć! Jeśli wybieramy jedną parę bezpłciową - tak, jeśli jedną parę różnopłciową - \(10\cdot10\). Ocenę zostawmy twórcy wątku!

Pozdrawiam