forum.zadania.info

liczba k jest trzykrotnym pierwiastkiem \(W(x)\). Wyznacz liczby a i b, jeśli \(W(x)=x^4-2x^3+ax+b\), \(k=-1\)

\(W(x)=(x+1)^3 \cdot Q\)
\(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)Q\)
i jak robie tak
\(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x+m)\)
to mi nie wyjdzie
a jak dam (x-m) to wychodzi?
dlaczego tak? o co tu chodzi? dlaczego ma być minus?

Pawm32 pisze: ↑10 lut 2021, 19:55 liczba k jest trzykrotnym pierwiastkiem \(W(x)\). Wyznacz liczby a i b, jeśli \(W(x)=x^4-2x^3+ax+b\), \(k=-1\)

\(W(x)=(x+1)^3 \cdot Q\)
\(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)Q\)
i jak robie tak
\(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x+m)\)
to mi nie wyjdzie
a jak dam (x-m) to wychodzi?
dlaczego tak? o co tu chodzi? dlaczego ma być minus?

jeżeli \(m \) jest pierwiastkiem wielomianu, to \(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x-m)\)
a jeżeli jest nim \(-m\), to \(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x+m)\)

eresh pisze: ↑10 lut 2021, 21:04

Pawm32 pisze: ↑10 lut 2021, 19:55 liczba k jest trzykrotnym pierwiastkiem \(W(x)\). Wyznacz liczby a i b, jeśli \(W(x)=x^4-2x^3+ax+b\), \(k=-1\)

\(W(x)=(x+1)^3 \cdot Q\)
\(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)Q\)
i jak robie tak
\(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x+m)\)
to mi nie wyjdzie
a jak dam (x-m) to wychodzi?
dlaczego tak? o co tu chodzi? dlaczego ma być minus?

jeżeli \(m \) jest pierwiastkiem wielomianu, to \(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x-m)\)
a jeżeli jest nim \(-m\), to \(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x+m)\)

no to rozumiem, ale czemu wyjdzie tylko dla pierwiastka m, a dla -m nie? zawsze jak będę robił takie zadnie mam mnożyć przez (x+ coś)

Co ci wychodzi? Gdzie dokładnie napotykasz problem. Powinieneś badając równość wielomianów uzyskać układ równań. Jeśli jest on sprzeczny, to nic z tym nie zrobisz, oznacza to, że nie ma takiego wielomianu, ale jakoś nie chce mi się wierzyć w ten wariant.

\(W(x)=(x+1)^3(x+m)\)
\(W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x+m)\)
\(W(x)=x^4+x^3m+3x^3+3mx^2+3x^2+3mx+x+m\)
\(W(x)=x^4+(m+3)+(3m+3)+(3m+1)+m\)

\(x^4:1=1\)
\(x^3:1=m+3 \to m=-2\)
\(x^2:-3=3m+3 \to m=-2\)
\(x^1:a-b=3m+1 \to a-b=-5\)
\(x^0:a+2b=m \to a+2b=-2\)

\(a+2b=-2\)

\(a-b=-5\)

\(a-a+2b+b=-2+5\)
\(3b=3\)
\(b=1\)
\(a+2=-2\)
\(a=-4\)

Dobra mnożyłem tu przez (x+m) (Jak widać...) i wyszły dobre odpowiedzi, a wcześniej tak robiłem i nie wychodziły. Ktoś mi powie czy to wyżej jest dobrze czy jednak wcześniej robiłem źle a to jest dobrze?

Skąd wziąłeś te równania? Nie wydają się pasować do wielomianu, który podałeś na samym początku.

Młodociany całkowicz pisze: ↑10 lut 2021, 21:40 Skąd wziąłeś te równania? Nie wydają się pasować do wielomianu, który podałeś na samym początku.

chyba dla złego przykładu policzyłem, więc bedzie \(W(x)=x^4+x^3-3x^2+(a-b)x+a+2b\), k zostaje = -1 i treść taka sama

Pawm32 pisze: ↑10 lut 2021, 21:46

Młodociany całkowicz pisze: ↑10 lut 2021, 21:40 Skąd wziąłeś te równania? Nie wydają się pasować do wielomianu, który podałeś na samym początku.

chyba dla złego przykładu policzyłem, więc bedzie \(W(x)=x^4+x^3-3x^2+(a-b)x+a+2b\), k zostaje = -1 i treść taka sama

\(W(x)=(x+1)^3(x-m)\\
W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x-m)\\
W(x)=x^4-x^3m+3x^3-3x^2m+3x^2-3xm+x-m\\
W(x)=x^4+x^3(-m+3)+x^2(-3m+3)+x(-3m+1)-m\\
-m+3=1\So m=2\\
-3m+3=-3\So m=2\\
-3m+1=a-b\So a-b=-5\So a=b-5\\
a+2b=-m\\
b-5+2b=-2\\
3b=3\\
b=1\\a=1-5=-4\)


takie same wartości a i b otrzymasz gdy pomnożysz przez \(x+m\)

eresh pisze: ↑10 lut 2021, 21:56

Pawm32 pisze: ↑10 lut 2021, 21:46

Młodociany całkowicz pisze: ↑10 lut 2021, 21:40 Skąd wziąłeś te równania? Nie wydają się pasować do wielomianu, który podałeś na samym początku.

chyba dla złego przykładu policzyłem, więc bedzie \(W(x)=x^4+x^3-3x^2+(a-b)x+a+2b\), k zostaje = -1 i treść taka sama

\(W(x)=(x+1)^3(x-m)\\
W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x-m)\\
W(x)=x^4-x^3m+3x^3-3x^2m+3x^2-3xm+x-m\\
W(x)=x^4+x^3(-m+3)+x^2(-3m+3)+x(-3m+1)-m\\
-m+3=1\So m=2\\
-3m+3=-3\So m=2\\
-3m+1=a-b\So a-b=-5\So a=b-5\\
a+2b=-m\\
b-5+2b=-2\\
3b=3\\
b=1\\a=1-5=-4\)


takie same wartości a i b otrzymasz gdy pomnożysz przez \(x+m\)

czyli bez różnicy, bo o to mi od początku w sumie chodzi, jak mi się chce pomnożyć przez np. \((x+m)\) to będzie dobrze, a jak będe chciał przez \( (x-m)\) to też będzie dobrze?

Pawm32 pisze: ↑10 lut 2021, 21:59

eresh pisze: ↑10 lut 2021, 21:56

Pawm32 pisze: ↑10 lut 2021, 21:46

chyba dla złego przykładu policzyłem, więc bedzie \(W(x)=x^4+x^3-3x^2+(a-b)x+a+2b\), k zostaje = -1 i treść taka sama

\(W(x)=(x+1)^3(x-m)\\
W(x)=(x^3+3x^2+3x+1)(x-m)\\
W(x)=x^4-x^3m+3x^3-3x^2m+3x^2-3xm+x-m\\
W(x)=x^4+x^3(-m+3)+x^2(-3m+3)+x(-3m+1)-m\\
-m+3=1\So m=2\\
-3m+3=-3\So m=2\\
-3m+1=a-b\So a-b=-5\So a=b-5\\
a+2b=-m\\
b-5+2b=-2\\
3b=3\\
b=1\\a=1-5=-4\)


takie same wartości a i b otrzymasz gdy pomnożysz przez \(x+m\)

czyli bez różnicy, bo o to mi od początku w sumie chodzi, jak mi się chce pomnożyć przez np. \((x+m)\) to będzie dobrze, a jak będe chciał przez \( (x-m)\) to też będzie dobrze?

tak