forum.zadania.info

\(2y′′=3(y)^2\), \(y(−2)=1, y′(−2)=−1\).

Problem Cauchy dla równania różniczkowego zwyczajnego - liniowego II rzędu - jednorodnego.

\( \begin{cases} 2y^{''} = 3y^2 \\ y(-2) = 1, \ \ y^{'}(-2) = -1 \end{cases} \)

\( 2y^{''} -3y^2 = 0 \)

\( y = e^{r\cdot x}.\)

Równanie charakterystyczne

\( 2r^2 - 3 = 0 \)

\( r_{1} = -\sqrt{\frac{3}{2}}, \ \ r_{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}.\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\( y(x) = C_{1} e^{-\sqrt{\frac{3}{2}}x} + C_{2} e^{\sqrt{\frac{3}{2}}x} \)

Proszę podstawić warunki początkowe i wyznaczyć wartości stałych \( C_{1}, \ \ C_{2}.\)

Uwaga
To nie są różniczki, to jest równanie różniczkowe- zwyczajne.

Tak by było, gdyby równanie miało postać: \(2y''-3y=0\)

Dzięki za zwrócenie uwagi.

Równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu - nieliniowe.

\( \begin{cases} 2y^{''} = 3y^2 \\ y(-2) = 1, \ \ y^{'}(-2) = -1 \end{cases} \)

Podstawienie;

\( y' = p \)

\( 2p\cdot \frac{dp}{dy} = 3y^2 |\cdot \frac{1}{2}\)

\( p\cdot \frac{dp}{dy} = \frac{3}{2}y^2 \)

\( pdp = \frac{3}{2}y^2 dy \)

\( \int p dp = \frac{3}{2} \int y^2 dy \)

\( \frac{p^2}{2} = \frac{3}{6} y^3 + C_{1} |\cdot 2 \)

\( p^2 = y^{3} + C_{2}, \ \ \ C_{2} = 2C_{1}.\)

\( p = \pm \sqrt{y^3 + C_{2}} \)

\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{y^3 + C_{2}} \vee \frac{dy}{dx} = - \sqrt{y^3 + C_{2}}. \)

Zajmujemy się pierwszym przypadkiem

\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{y^3 + C_{2}} \ \ (1) \)

Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie otrzymujemy

\( x + C_{3} = \int (y^3 + C_{2})^{-\frac{1}{2}}dy \ \ (*) \)

Po prawej stronie równania występuje całka z różniczki dwumiennej

\( \int x^{m} (a +bx^{n})^{p} dx \) dla \( m=0, \ \ b =1, \ \ n =3, \ \ p = -\frac{1}{2} \)

Całka taka, jak wykazał Pafnutij Czebyszow nie wyraża się się przez funkcję elementarną, ponieważ

\( (m + p = 0 -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \notin \zz \)

Uwzlędniając warunki początkowe na podstawie \( (1) \) otrzymujemy [tex C_{2}= 0 [/tex]

\( \frac{dy}{dx} = \sqrt{ y^3}\)

\( \frac{dy}{y^{\frac{3}{2}}} = dx \)

\( y ^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} x + C \)

\( y = \frac{4}{(2C -x)^2} \)

Uwzględniamy warunek początkowy

\( 1 = \frac{4}{ (2C + 2)^2} \)

Skąd

\( C = 0 \) lub \( C = -4 \)

\( y = \frac{4}{x^2} \) lub \( y = \frac{4}{(-8 - x)^2} = \frac{4}{(8 + x)^2}. \)