forum.zadania.info

To, że akurat należy wykorzystać taki wzór to mogłem się tego domyśleć, nie mniej jednak nie wiem jak należy do niego powpisywać prawdopodobieństwa (liczby). Bardzo serdecznie proszę o napisanie rozwiązania. Nie jestem za bardzo bystry w tych prawdopodobieństwach i dlatego tutaj poprosiłem o pomoc. Mam nadzieję że jak zobaczę w jaki sposób się oblicza dla Łukasza prawdopodobieństwo ukończenia zawodów dla 2 i 3 miejsca to dalej już będę potrafił obliczyć prawdopodobieństwo że Łukasz ukończy na 4 miejscu. Bardzo proszę o wyrozumiałość i napisanie rozwiązania, bo nie wiem jak do tego wzoru należy powpisywać liczby.

\( P(Ł, 3) = 0,40\cdot \frac{0,28}{1 -0,4} + 0,3\cdot \frac{0,28}{1 -0,3} + \frac{0,1}{1 -0,1} = 0,40\cdot \frac{0,28}{0,60} + 0,30 \cdot \frac{0,28}{0,70} + 0,10\cdot \frac{0,28}{0,90} \approx 0,34.\)

Octave 6.1.0
W wyniku realizacji doświadczenia losowego, polegającego na obserwacji kolejności czterech chłopców na mecie, możemy oczekiwać, że w około \( 34\% \) ogólnej liczby obserwacji - Łukasz przybiegnie na trzecim miejscu.

Na podstawie tych dwóch przykładów dokonałem pozostałych obliczeń. Jeśli by Pan miał czas to prosiłbym o sprawdzenie, czy dobrze zrozumiałem Pana metodę obliczania dla pozostałych przypadków:

Andrzej 40%
P(A,1)=0,4(40%)
P(A,2)=0,3\(\frac{0,4}{1-0,3}+0,2\frac{0,4}{1-0,2}+0,1\frac{0,4}{1-0,1}=0,3\frac{0,4}{0,7}+0,2\frac{0,4}{0,8}+0,1\frac{0,4}{0,9}=0,1714+0,1+0,044=0,3154\)(31,54%)
P(A,3)=0,3\(\frac{0,3154}{1-0,3}+0,2\frac{0,3154}{1-0,2}+0,1\frac{0,3154}{1-0,1}=0,3\frac{0,3154}{0,7}+0,2\frac{0,3154}{0,8}+0,1\frac{0,3154}{0,9}=0,1352+0,0789+0,0350=0,2491\)(24,91%)
P(A,4)=0,3\(\frac{0,2491}{1-0,3}+0,2\frac{0,2491}{1-0,2}+0,1\frac{0,2491}{1-0,1}=0,3\frac{0,2491}{0,7}+0,2\frac{0,2491}{0,8}+0,1\frac{0,2491}{0,9}=0,1068+0,0622+0,0277=0,1967\)(19,67%)

Michał 30%
P(M,1)=0,3(30%)
P(M,2)=0,4\(\frac{0,3}{1-0,4}+0,2\frac{0,3}{1-0,2}+0,1\frac{0,3}{1-0,1}=0,4\frac{0,3}{0,6}+0,2\frac{0,3}{0,8}+0,1\frac{0,3}{0,9}=0,2+0,075+0,0333=0,3083\)(30,83%)
P(M,3)=0,4\(\frac{0,3083}{1-0,4}+0,2\frac{0,3083}{1-0,2}+0,1\frac{0,3083}{1-0,1}=0,4\frac{0,3083}{0,6}+0,2\frac{0,3083}{0,8}+0,1\frac{0,3083}{0,9}=0,2055+0,0771+0,0343=0,3169\)(31,69%)
P(M,4)=0,4\(\frac{0,3169}{1-0,4}+0,2\frac{0,3169}{1-0,2}+0,1\frac{0,3169}{1-0,1}=0,4\frac{0,3169}{0,6}+0,2\frac{0,3169}{0,8}+0,1\frac{0,3169}{0,9}=0,2113+0,0792+0,0352=0,3257\)(32,57%)

Łukasz 20%
P(Ł,1)=0,2(20%)
P(Ł,2)=0,4\(\frac{0,2}{1-0,4}+0,3\frac{0,1}{1-0,3}+0,1\frac{0,1}{1-0,1}=0,4\frac{0,2}{0,6}+0,3\frac{0,2}{0,7}+0,1\frac{0,2}{0,9}=0,1333+0,0857+0,0222=0,2412\)(24,12%)
P(Ł,3)=0,4\(\frac{0,2412}{1-0,4}+0,3\frac{0,2412}{1-0,3}+0,1\frac{0,2412}{1-0,1}=0,4\frac{0,2412}{0,6}+0,3\frac{0,2412}{0,7}+0,1\frac{0,2412}{0,9}=0,1608+0,1034+0,0268=0,291\)(29,1%)
P(Ł,4)=0,4\(\frac{0,291}{1-0,4}+0,3\frac{0,291}{1-0,3}+0,1\frac{0,291}{1-0,1}=0,4\frac{0,291}{0,6}+0,3\frac{0,291}{0,7}+0,1\frac{0,291}{0,9}=0,194+0,1247+0,0323=0,351\)(35,1%)

Bartek 10%
P(B,1)=0,1(10%)
P(Ł,2)=0,4\(\frac{0,1}{1-0,4}+0,3\frac{0,1}{1-0,3}+0,2\frac{0,1}{1-0,2}=0,4\frac{0,1}{0,6}+0,3\frac{0,1}{0,7}+0,2\frac{0,1}{0,8}=0,0666+0,0429+0,025=0,1345\)(13,45%)
P(B,3)=0,4\(\frac{0,1345}{1-0,4}+0,3\frac{0,1345}{1-0,3}+0,2\frac{0,1345}{1-0,2}=0,4\frac{0,1345}{0,6}+0,3\frac{0,1345}{0,7}+0,2\frac{0,1345}{0,8}=0,0897+0,0576+0,0336=0,1809\)(18,09%)
P(B,4)=0,4\(\frac{0,1809}{1-0,4}+0,3\frac{0,1809}{1-0,3}+0,2\frac{0,1809}{1-0,2}=0,4\frac{0,1809}{0,6}+0,3\frac{0,1809}{0,7}+0,2\frac{0,1809}{0,8}=0,1206+0,0775+0,0452=0,2433\)(24,33%)

Metodę Pan zrozumiał, ale obliczenia są niepoprawne. Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności. Procenty w poziomie i pionie muszą sumować się do \( 100\% = 1. \)

Słuszna uwaga. Dziękuję.

Tak sobie podliczam Michała, ponieważ dla tego przykładu widzę największą rozbieżność i nawet jak będę zaokrąglał do 2 miejsc po przecinku to nadal mi nie wychodzi po zsumowaniu 100%. Coś nadal jest źle, ale nie wiem co . Proszę o pomoc.

Michał 30%

P(M,1)=0,3(30%)
\(P(M,2)=0,4\frac{0,3}{1-0,4}+0,2\frac{0,3}{1-0,2}+0,1\frac{0,3}{1-0,1}=0,4\frac{0,3}{0,6}+0,2\frac{0,3}{0,8}+0,1\frac{0,3}{0,9}=0,2+0,075+0,033=0,308=\\ \qquad=0,31\)
(31%)
\(P(M,3)=0,4\frac{0,31}{1-0,4}+0,2\frac{0,31}{1-0,2}+0,1\frac{0,31}{1-0,1}=0,4\frac{0,31}{0,6}+0,2\frac{0,31}{0,8}+0,1\frac{0,31}{0,9}=0,2066+0,0775+0,034=\\ \qquad =0,3181=0,32\)
(32%)
\(P(M,4)=0,4\frac{0,32}{1-0,4}+0,2\frac{0,32}{1-0,2}+0,1\frac{0,32}{1-0,1}=0,4\frac{0,32}{0,6}+0,2\frac{0,32}{0,8}+0,1\frac{0,32}{0,9}=0,2133+0,08+0,035=\\ \qquad=0,3283=0,33\)
(33%)


Tak powinno być : Michał =P(M,1)+P(M,2)+P(M,3)+P(M,4) =100%
A u mnie jest tak: Michał =30%+31%+32%+33% =126%

Dlaczego to tak wychodzi? Obojętnie jak będę zaokrąglał i tak jest bardzo duża rozbieżność dla tego przypadku.

Źle zostały zinterpretowane wartości prawdopodobieństw obliczane tą metodą.

Pierwszy składnik sumy Michała jest prawdopodobieństwem zdarzenia, że Michał zajmie drugie miejsce , drugi składnik sumy jest prawdopodobieństwem, że Łukasz zajmie drugie miejsce itd.

"Metodę Pan zrozumiał, ale obliczenia są niepoprawne. Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności. Procenty w poziomie i pionie muszą sumować się do 100%=1." Czy mógłby Pan mi pokazać w jaki sposób należy to zrobić dla Łukasza lub Michała? Ja niestety, ale nie wiem. Niestety też jeszcze nie wiem jak Panu wyszło 0,2841?
\(P(Ł,2)=0,4⋅\frac{0,2}{1-0,4}+0,3⋅\frac{0,2}{1-0,3}+0,1⋅\frac{0,2}{1-0,1}=0,4⋅\frac{0,2}{0,6}+0,3⋅\frac{0,2}{0,7}+0,1⋅\frac{0,2}{0,9}=0,1333+0,086+0,022=0,2413\)

Suma prawdopodobieństw w wierszu jest łączną wartością prawdopodobieństwa zajęcia przez chłopców drugiego miejsca, a nie przez jednego chłopca.

Słuszna uwaga. Dziękuję.

"Metodę Pan zrozumiał, ale obliczenia są niepoprawne. Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności. Procenty w poziomie i pionie muszą sumować się do 100%=1.". Mi zależy aby to zadanie od początku do końca było dobrze wykonane. Powtarzam ponownie obliczenia, biorąc pod uwagę Pana sugestię "Po co Panu dokładność do setnych procent, skoro dane w treści zadania były podane do rzędu jedności".

Andrzej 40%
P(A,1)=0,4(40%)
\[
P(A,2) = 0.3\cdot\frac{0,4}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,4}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,4}{1-0,1} = 0.3\cdot\frac{0,3}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,3}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,4}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,3\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,3\cdot0,7\cdot0,9+0,1\cdot0,3\cdot0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,0864+0,0504+0,0224}{0,504}=\frac{0,1592}{0,504}=0,3159\]=32%
\[P(A,3)=0.3\cdot\frac{0,32}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,32}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,32}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,32}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,32}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,32}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,32\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,32\cdot0,7\cdot0,9+0,1\cdot0,32\cdot0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,06912+0,04032+0,01792}{0,504}=\frac{0,12736}{0,504}=0,2526\] = 25%
\[P(A,4)=0.3\cdot\frac{0,25}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,25}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,25}{1-0,1}=0.3\cdot\frac{0,25}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,25}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,25}{0,9}=\frac{0,3\cdot0,25\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,25\cdot0,7\cdot0,9+0,1\cdot0,25\cdot0,7\cdot0,8}{0,7\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,054+0,0315+0,014}{0,504}=\frac{0,0995}{0,504}=0,1974\] = 20%

Michał 30%
P(M,1)=0,3(30%)
\[
P(M,2) = 0,4\cdot\frac{0,3}{1-0,4}+0.2\cdot\frac{0,3}{1-0,2}+0,1\cdot\frac{0,3}{1-0,1} = 0,4\cdot\frac{0,3}{0,6}+0.2\cdot\frac{0,3}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,3}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,3\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,3\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,3\cdot0,6\cdot0,8}{0,6\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,0864+0,0324+0,0144}{0,432}=\frac{0,1332}{0,432}=0,308333\]=31%
\[P(M,3)=0,4\cdot\frac{0,31}{1-0,4}+0.2\cdot\frac{0,31}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,31}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,31}{0,6}+0,2\cdot\frac{0,31}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,31}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,31\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,31\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,31\cdot0,6\cdot0,8}{0,6\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,08928+0,03348+0,01488}{0,432}=\frac{0,13764}{0,432}=0,318611\] = 32%
\[P(M,4)=0.4\cdot\frac{0,32}{1-0,4}+0.2\cdot\frac{0,32}{1-0,2}+0.1\cdot\frac{0,32}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,32}{0,6}+0.2\cdot\frac{0,32}{0,8}+0.1\cdot\frac{0,32}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,32\cdot0,8\cdot0,9+0,2\cdot0,32\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,32\cdot0,6\cdot0,8}{0,6\cdot0,8\cdot0,9}=\frac{0,09216+0,03456+0,01536}{0,432}=\frac{0,14208}{0,432}=0,328889\] =33%

Łukasz 20%
P(M,1)=0,3(30%)
\[
P(M,2) = 0,4\cdot\frac{0,2}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,2}{1-0,2}+0,1\cdot\frac{0,2}{1-0,1} = 0,4\cdot\frac{0,2}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,2}{0,7}+0.1\cdot\frac{0,2}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,2\cdot0,7\cdot0,9+0,3\cdot0,2\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,2\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,9}=\frac{0,0504+0,0324+0,0084}{0,378}=\frac{0,0912}{0,378}=0,241269841\]=24%
\[P(M,3)=0,4\cdot\frac{0,24}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,24}{1-0,3}+0.1\cdot\frac{0,24}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,24}{0,6}+0,2\cdot\frac{0,24}{0,7}+0.1\cdot\frac{0,24}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,24\cdot0,7\cdot0,9+0,3\cdot0,24\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,24\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,9}=\frac{0,06048+0,03888+0,01008}{0,378}=\frac{0,10944
}{0,378}=0,28952381\] = 29%
\[P(M,4)=0.4\cdot\frac{0,29}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,29}{1-0,3}+0.1\cdot\frac{0,29}{1-0,1}=0.4\cdot\frac{0,29}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,29}{0,7}+0.1\cdot\frac{0,29}{0,9}=\frac{0,4\cdot0,29\cdot0,7\cdot0,9+0,3\cdot0,29\cdot0,6\cdot0,9+0,1\cdot0,29\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,9}=\frac{0,07308+0,04698+0,01218}{0,378}=\frac{0,13224
}{0,378}=0,34984127\] =35%

Bartek 10%
P(M,1)=0,1(10%)
\[
P(M,2) = 0,4\cdot\frac{0,1}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,1}{1-0,2}+0,2\cdot\frac{0,1}{1-0,2} = 0,4\cdot\frac{0,1}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,1}{0,7}+0,2\cdot\frac{0,1}{0,8}=\frac{0,4\cdot0,1\cdot0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,1\cdot0,6\cdot0,8+0,2\cdot0,2\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,8}=\frac{0,0224+0,0144+0,0084}{0,336}=\frac{0,0452}{0,336}=0,13452381\]=13%
\[P(M,3)=0,4\cdot\frac{0,13}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,13}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,13}{1-0,2}=0.4\cdot\frac{0,13}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,13}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,13}{0,8}=\frac{0,4\cdot0,13\cdot0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,13\cdot0,6\cdot0,8+0,2\cdot0,13\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,8}=\frac{0,02912+0,01872+0,01092}{0,336}=\frac{0,05876
}{0,336}=0,174880952\] = 17%
\[P(M,4)=0.4\cdot\frac{0,17}{1-0,4}+0,3\cdot\frac{0,17}{1-0,3}+0.2\cdot\frac{0,17}{1-0,2}=0.4\cdot\frac{0,17}{0,6}+0,3\cdot\frac{0,17}{0,7}+0.2\cdot\frac{0,17}{0,8}=\frac{0,4\cdot0,17\cdot0,7\cdot0,8+0,3\cdot0,17\cdot0,6\cdot0,8+0,2\cdot0,17\cdot0,6\cdot0,7}{0,6\cdot0,7\cdot0,8}=\frac{0,03808+0,02448+0,01428}{0,336}=\frac{0,07684
}{0,336}=0,228690476\] =23%

Biorę teraz Pana założenia "Suma prawdopodobieństw w wierszu jest łączną wartością prawdopodobieństwa zajęcia przez chłopców drugiego miejsca, a nie przez jednego chłopca." i obliczam:
P(A,1)+P(M,1)+P(Ł,1)+P(A,1) powinno być 1 i jest 1 bo 0,4+0,3+0,2+0,1 =1
P(A,2)+P(M,2)+P(Ł,2)+P(A,2) powinno być 1 i jest 1 bo 0,32+0,31+0,24+0,13 =1
P(A,3)+P(M,3)+P(Ł,3)+P(A,3) powinno być 1 i jest rozbieżność bo 0,25+0,32+0,29+0,17 =1,03
P(A,4)+P(M,4)+P(Ł,4)+P(A,4) powinno być 1 i jest duża rozbieżność bo 0,2+0,33+0,35+0,23 =1,11

Jak to jest możliwe? że dla ostatniego i przedostatniego przypadku nie wychodzi 1? Czy teraz według Pana są dobrze zrealizowane obliczenia? Zaokrąglałem w nich tak jak Pan sugerował do 2 miejsc po przecinku. Dlaczego nadal źle wychodzi?

To są już dużo lepsze obliczenia. Jest to możliwe. Te reszty setnych części biorą się z błędów zaokrągleń.

To jak to powinno wyglądać dla tej największej rozbieżności P(A,4)+P(M,4)+P(Ł,4)+P(A,4) żeby to wyszło 1? Czy mógłby Pan napisać jak to powinno wyglądać aby suma wyszła 1? Ja nie wiem gdzie ja źle tam zaokrągliłem skoro wszędzie robiłem tak samo obliczenia.

To zrozumiałe że błąd zaokrągleń jest największy dla czwartego miejsca, które może zająć każdy z chłopców, bo kumulują się błędy zaokrągleń z miejsc drugiego i czwartego. Proszę jeszcze raz sprawdzić swoje obliczenia i zaokrąglić prawdopodobieństwa do rzędu jedności. Taka dokładność prawdopodobieństw zajęcia miejsc pierwszych była podana na początku w treści zadania.