Cząstka porusza się po krzywej...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Cząstka porusza się po krzywej...
Cząstka porusza się po krzywej y(x) = 10 m [1 + cos(0,1 m−1⋅x)] , od punktu x = 0 m do x = 10π m , pod wpływem stycznej siły o zmiennej wartości F(x) = 10 m⋅sin(0,1 m−1⋅x)]. Jaką pracę wykonała siła?
-
korki_fizyka
- Expert
- Posty: 6268
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
Re: Cząstka porusza się po krzywej...
To już dziewiąty twój post, zacznij wreszcie używać LaTeXa https://forum.zadania.info/viewforum.php?f=6
wzór ten sam i umieszczaj swoje posty w odpowiednich działach, te zadanie, podobnie jak poprzednie nie jest na poziomie szkoły średniej.
wzór ten sam i umieszczaj swoje posty w odpowiednich działach, te zadanie, podobnie jak poprzednie nie jest na poziomie szkoły średniej.
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
Re: Cząstka porusza się po krzywej...
Jestem w technikum i takie zadania zostały nam przydzielone. Zadania wstawiam w takiej formie jakiej zostały mi dostarczone na maila od nauczyciela, nie jestem specjalistką i cudowanie z odpowiednim kodowaniem zadań, których nie rozumiem byłoby bardzo mądrym posunięciem.korki_fizyka pisze: ↑02 lut 2021, 20:19 To już dziewiąty twój post, zacznij wreszcie używać LaTeXa https://forum.zadania.info/viewforum.php?f=6
wzór ten sam i umieszczaj swoje posty w odpowiednich działach, te zadanie, podobnie jak poprzednie nie jest na poziomie szkoły średniej.
Pozdrawiam.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1506
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Cząstka porusza się po krzywej...
Pan Profesor daje zadania przeznaczone dla studentów.
To zadanie rozwiązujemy, posługując się metodami rachunku różniczkowego i całkowego.
Praca \( W \) w polu sił \( \vec{F} = [F_{x}(x,y) \vec{i}; \ \ F_{y}(x,y) \vec{j} ], \) po krzywoliniowym torze o równaniu \( y(x) \) jest równa wartości całki krzywoliniowej- skierowanej
\( W = \int_{a}^{b} dW = \int_{a}^{b} [F_{x}(x, y(x)) + F_{y}(x, y(x))]\cdot y'(x) dx \ \ (*)\)
Z treści zadania wynika, że współrzędne początkowego i końcowego punktu toru, po którym porusza się cząstka wynoszą odpowiednio:
\( A = [0 (m), \ \ 20(m)] , \ \ B = [10\pi (m), \ \ 0 (m)].\)
Pole sił dane jest przez wektor:
\( \vec{F} = [F_{x}(x,y)\vec{i}; \ \ F_{y}(x,y) \vec{j} ]= [10(N) \sin(0,1m^{-1}x) \vec{i}, \ \ 0 (N) \vec{j}] \)
Równanie toru przemieszczania się cząstki określone jest wzorem:
\( y(x) = 10 (m) [ 1 +\cos(0,1m^{-1}x)] \)
Obliczamy różniczkę toru
\( dy = y'(x) dx = = -10 (m) \cdot \frac{1}{10} \sin(0,1m^{-1}x) dx = -\sin( 0,1m^{-1}x) dx. \)
Podstawiamy dane do całki \( (*)\)
\( W = \int_{0}^{10\pi} [10(N) \sin(0,1m^{-1}x)\cdot \vec{i}, \ \ 0 (N) \vec{j}]\cdot [-\sin( 0,1m^{-1}x)]dx = -10(N)\int_{0}^{10\pi} \sin^2(0,1m^{-1}x) dx. \)
Pozostała do obliczenia całka oznaczona z kwadratu sinusa .
W tym celu posłużymy się tożsamością trygonometryczną:
\( \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}[1 -\cos(2\alpha)].\)
\( W = -10 (N)\int_{0}^{10\pi} \sin^2(0,1m^{-1}x) dx= \frac{1}{2}(-10(N)) \int_{0}^{10\pi} [1- \cos(2\cdot 0,1m^{-1})]dx = \)
\( = -5(N) \left[ \int_{0}^{10\pi} dx - \int\cos(0,2m^{-1}x)dx\right] = -5(N) \left[ x|_{0}^{10\pi} - 5\sin(0.2m^{-1}x)|_{0}^{10\pi} \right]= \)
\( = -5(N) [ 10\pi - 0 - 5\sin(2\pi) + \sin(0)] = -5(N)[ 10\pi -0 -0 +0 ] = -50\pi \ \ J. \)
To zadanie rozwiązujemy, posługując się metodami rachunku różniczkowego i całkowego.
Praca \( W \) w polu sił \( \vec{F} = [F_{x}(x,y) \vec{i}; \ \ F_{y}(x,y) \vec{j} ], \) po krzywoliniowym torze o równaniu \( y(x) \) jest równa wartości całki krzywoliniowej- skierowanej
\( W = \int_{a}^{b} dW = \int_{a}^{b} [F_{x}(x, y(x)) + F_{y}(x, y(x))]\cdot y'(x) dx \ \ (*)\)
Z treści zadania wynika, że współrzędne początkowego i końcowego punktu toru, po którym porusza się cząstka wynoszą odpowiednio:
\( A = [0 (m), \ \ 20(m)] , \ \ B = [10\pi (m), \ \ 0 (m)].\)
Pole sił dane jest przez wektor:
\( \vec{F} = [F_{x}(x,y)\vec{i}; \ \ F_{y}(x,y) \vec{j} ]= [10(N) \sin(0,1m^{-1}x) \vec{i}, \ \ 0 (N) \vec{j}] \)
Równanie toru przemieszczania się cząstki określone jest wzorem:
\( y(x) = 10 (m) [ 1 +\cos(0,1m^{-1}x)] \)
Obliczamy różniczkę toru
\( dy = y'(x) dx = = -10 (m) \cdot \frac{1}{10} \sin(0,1m^{-1}x) dx = -\sin( 0,1m^{-1}x) dx. \)
Podstawiamy dane do całki \( (*)\)
\( W = \int_{0}^{10\pi} [10(N) \sin(0,1m^{-1}x)\cdot \vec{i}, \ \ 0 (N) \vec{j}]\cdot [-\sin( 0,1m^{-1}x)]dx = -10(N)\int_{0}^{10\pi} \sin^2(0,1m^{-1}x) dx. \)
Pozostała do obliczenia całka oznaczona z kwadratu sinusa .
W tym celu posłużymy się tożsamością trygonometryczną:
\( \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}[1 -\cos(2\alpha)].\)
\( W = -10 (N)\int_{0}^{10\pi} \sin^2(0,1m^{-1}x) dx= \frac{1}{2}(-10(N)) \int_{0}^{10\pi} [1- \cos(2\cdot 0,1m^{-1})]dx = \)
\( = -5(N) \left[ \int_{0}^{10\pi} dx - \int\cos(0,2m^{-1}x)dx\right] = -5(N) \left[ x|_{0}^{10\pi} - 5\sin(0.2m^{-1}x)|_{0}^{10\pi} \right]= \)
\( = -5(N) [ 10\pi - 0 - 5\sin(2\pi) + \sin(0)] = -5(N)[ 10\pi -0 -0 +0 ] = -50\pi \ \ J. \)