Zadanie z parametrem.

[gr4vity]

Dla jakich wartości parametru ,,m'' funkcje \(f(x)=\frac{4-m}{x}\) oraz \(g(x)=x^2+5x+m\), dla \(x\neq0\) mają dokładnie trzy punkty wspólne.
Mam informacje, że zadanie to można zrobić dwoma sposobami (zauważając, że wielomian który powstanie przy porównaniu funkcji ma pierwiastek równy -1.
Oraz wykorzystując pochodną (zbadać zmienność funkcji i odczytać).
Próbowałem wielokrotnie robić to zadanie zarówno jednym jak i drugim sposobem natomiast bez skutku.
Czy byłby ktoś tak miły i rozwiązał to zadanie?
Pozdrawiam

[eresh]

Dla jakich wartości parametru ,,m'' funkcje \(f(x)=\frac{4-m}{x}\) oraz \(g(x)=x^2+5x+m\), dla \(x\neq0\) mają dokładnie trzy punkty wspólne.
Mam informacje, że zadanie to można zrobić dwoma sposobami (zauważając, że wielomian który powstanie przy porównaniu funkcji ma pierwiastek równy -1.
Oraz wykorzystując pochodną (zbadać zmienność funkcji i odczytać).
Próbowałem wielokrotnie robić to zadanie zarówno jednym jak i drugim sposobem natomiast bez skutku.
Czy byłby ktoś tak miły i rozwiązał to zadanie?
Pozdrawiam

\(x\neq 0\\
\frac{4-m}{x}=x^2+5x+m\\
4-m=x^3+5x^2+mx\\
x^3+5x^2+mx+m-4=0\)
równanie ma mieć trzy rozwiązania
\((x+1)(x^2+4x+m-4)=0\)
równanie \(x^2+4x+m-4=0\) ma mieć dwa rozwiązania, \( x\neq -1\)
\(\Delta>0\\
16-4(m-4)>0\\
4-m+4>0\\
-m>-8\\
m<8\)

\(x\neq 1:\\
1-4+m-4\neq 0\\
m\neq 7\)


\(x\neq 0:\\
m\neq 4\)

Odpowiedź: \(m\in (-\infty, 8 )\setminus\{4,7\}\)