forum.zadania.info

Witam,
Próbowałem rozwiązać zadanie, ale niestety nie udało mi się go rozwiązać. Czy ktoś mógłby pomóc?
Dzieci usiadły na karuzeli(patrz rysunek) po dwoje na każdej ławeczce, tak że masa dwójki dzieci z ławeczką wyniosła M=50 kg. Każde dziecko otrzymało piłkę lekarską o masie m=2kg. Instruktor umocował na osi obrotu kosz, a następnie wprawił karuzelę w ruch obrotowy z prędkością kątową równą 0,4 rad/s. Jaka będzie częstotliwość końcowa karuzeli, jeśli na sygnał gwizdka dzieci wrzucą piłki do kosza?Przyjmij jednakową odległość dzieci na ławeczkach, a odległość piłek od osi obrotu równą promieniowi karuzeli R=1,2m. Moment bezwładności karuzeli I=40 kgm2

Skorzystaj z ZZMomentu Pedu: \(L = I\omega = constans\) ,
po wrzuceniu piłek do kosza zmniejszy się moment bezwładności układu więc zwiększy się prędkość kątowa karuzeli. podstaw : \(\omega = 2\pi f \)

Oznaczenia

\( I_{2d1} \) - moment bezwładności pary dzieci przed wrzuceniem piłek do kosza

\( I_{2d2} \) - moment bezwładności pary dzieci po wrzuceniu piłek do kosza

\( I_{p1} \) - moment bezwładności piłki przed wrzuceniem do kosza

\( I_{p2} \) - moment bezwładności piłki po wrzuceniu do kosza

Przed wrzuceniem piłek do kosza - sumaryczny moment bezwładności układu "karuzela-dzieci-piłki "

\( I_{1} = I + 3I_{2d1} + 6 I_{p1} \)

Po wrzuceniu piłek do kosza- sumaryczny moment bezwładności układu "karuzela-dzieci-piłki "

\( I_{2} = I + 3I_{2d2}+ 6I_{p2} \)

Z zasady zachowania momentu pędu

\( L_{1} = L_{2}, \)

gdzie

\( L_{1} = I_{1} \cdot \omega_{1} \)

\( L_{2} = I_{2}\cdot \omega_{2} \)

Stąd

\( ( I + 3I_{2d1} + 6 I_{p1})\cdot \omega_{1} = (I + 3I_{2d2}+ 6I_{p2}) \cdot \omega_{2} \)

\( \omega_{2} = \frac{( I + 3I_{2d1} + 6 I_{p1})}{ (I + 3I_{2d2}+ 6I_{p2})} \omega_{1}\)

Proszę zauważyć, że moment bezwładności piłki po wrzuceniu do kosza jest równy zeru (bo odległość piłki od osi obrotu karuzeli \( R = 0\)).

\( \omega_{2} = \frac{I + 3MR^2 +6m\cdot R^2}{I + 3MR^2 + 6\cdot 0} \omega_{1}. \)

Wykorzystując zależność między prędkością kątową a częstotliwością obrotu karuzeli

\( \omega_{2} = 2\pi \cdot f_{2}, \)

możemy napisać

\( 2\pi \cdot f_{2} = \frac{I + 3MR^2 +6m\cdot R^2}{I + 3MR^2 + 6\cdot 0} \omega_{1} \)

\( f_{2} = \frac{1}{2\pi}\frac{I + 3MR^2 +6m\cdot R^2}{I + 3MR^2 + 6\cdot 0} \omega_{1} \)

\( f_{2} = \frac{1}{2\cdot 3,14} \frac{40 (kg\cdot m^2) +3\cdot 50 (kg)\cdot (1,2)^2(m^2)+6\cdot 2(kg)\cdot (1,2)^2 (m^2)}{40 (kg m^2)+ 3\cdot 50 (kg)\cdot (1,2)^2(m^2)}\cdot 0,4 \left(\frac{rad}{s}\right) \approx 0,068\frac{1}{s}. \)