Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej
liczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość :
\(\log_x (x*y)*\log_y (y/x)=\log_y (x*y)*\log_x (y/x) \)
( Matura rozszerzona 2015 stara forma)
Ja to zrobiłam w taki sposób, ale nie wiem czy jest on poprawny, bo w odpowiedziach z matury nie znalazłam takiego. Dostałabym za niego punkty?
x,y>0
\(x,y\neq 0\)
x*y>0
y/x>0
\(\log_x (x*y)*\log_y (y/x)=\frac{\log_y (x*y)*\log_x (y/x)}{\log_y x*\log_x y}=\frac{\log_y (x*y)*\log_x (y/x)}{\log_y x* \frac{\log_y y}{\log_y x}}=\log_y (x*y)*\log_x (y/x)\)
c.k.d
Dowód z logarytmami
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Dowód z logarytmami
Myślę , że jest ok. Ja bym jeszcze dopisała
\(\log_x (x*y)*\log_y (y/x)= \frac{log_x(x*y)}{log_x y} * \frac{log_y(x/y)}{log_y x} =\frac{\log_y (x*y)*\log_x (y/x)}{\log_y x*\log_x y}=\frac{\log_y (x*y)*\log_x (y/x)}{\log_y x* \frac{\log_y y}{\log_y x}}=\log_y (x*y)*\log_x (y/x)\)
ale myślę , że i tak byś dostała maxa (ale egzaminatorem nie jestem)
\(\log_x (x*y)*\log_y (y/x)= \frac{log_x(x*y)}{log_x y} * \frac{log_y(x/y)}{log_y x} =\frac{\log_y (x*y)*\log_x (y/x)}{\log_y x*\log_x y}=\frac{\log_y (x*y)*\log_x (y/x)}{\log_y x* \frac{\log_y y}{\log_y x}}=\log_y (x*y)*\log_x (y/x)\)
ale myślę , że i tak byś dostała maxa (ale egzaminatorem nie jestem)