forum.zadania.info

Niech \(F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt\) dla \(x \ge 0\) dla \(f(t) = \begin{cases}\arcsin x & \text{dla} & 0 \le t \le 1\\ -\ln x & \text{dla}& t > 1\end{cases}:\)
Podać wzór oraz naszkicować wykres funkcji \(F'\). Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji F.
więc na mocy twierdzenia wyszło mi tak: \(F'(x) = f(x) = \begin{cases}\arcsin x & \text{dla}& 0 \le x \le 1\\ -\ln x & \text{dla}& x > 1\end{cases}:\)
i teraz pytanie, żeby wyznaczyc funkcję \(F\) muszę policzyć całkę nieoznaczoną z funkcji \(F'\) ? Czy jakoś inaczej to zrobić? utknąłem w tym momencie

żeby znaleźć ekstrema lokalne funkcji F, potrzebujesz zbadać zachowanie jej pochodnej, a tę masz policzoną, więc ... odpowiedź na pytanie muszę policzyć całkę nieoznaczoną, brzmi - nie.

chyba udało mi się ogarnąć to zadanie, narysowałem wykres tej funkcji i okazało się, że ma ekstremum w 1 więc \(F(1) = \int_{0}^{1} arcsinx\) = \( \frac{ \pi }{2} \) mam nadzieję, że tak to trzeba zrobić

Amtematiksonn pisze: ↑22 sty 2021, 12:58 chyba udało mi się ogarnąć to zadanie, narysowałem wykres tej funkcji i okazało się, że ma ekstremum w 1 więc \(F(1) = \int_{0}^{1} arcsinx\) = \( \frac{ \pi }{2} \) mam nadzieję, że tak to trzeba zrobić

\( F(1) = \int_{0}^{1} \arcsin x\,{dx}= \frac{\pi}{2}-1 \) chyba, co?

Pochodna \(F'\) nie istnieje dla \(x=1\). Jednak w każdym otoczeniu \(x=1\) są wartości większe od \(\frac{\pi}{2}-1\), bo \( \displaystyle \int_{0}^{x}(-\ln x)\,{dx}=(x-x\ln x) \mathop{\longrightarrow}_{ x \to 1^+} 1 \)

Coś tu jest nie tak.
Dla jedynki funkcja przyjmuje wartość \(\frac{\pi}{2}-1\), ale w każdym otoczeniu jedynki są wartości większe od \(\frac{\pi}{2}-1\), więc to nie może być ekstremum (nawet lokalne).

to co w takim razie może być ekstremum?

Wartość największa jest 1, a ekstremum nie ma.
Sorki, wartości największej też nie ma, bo nie ma x, dla którego wartość jest 1.
To jest ograniczenie z góry.

a dlaczego nie ma? bo funkcja nie jest ciągła w tym punkcie więc nie ma pochodnej?

Tak. Tak to można wyjaśnić.

Korzystamy z twierdzenia o istnieniu funkcji pierwotnej:

Jeżeli funkcja \( F \) jest funkcją pierwotną funkcji w przedziale \( (a, \ \ b), \) to funkcja \( G(x) \) jest funkcją pierwotną funkcji \( f \) w przedziale \( (a, \ \ b) \) wtedy i tylko wtedy, gdy

\( \exists_{c\in\rr} \forall_{x\in(a, b)} G(x) = F(x) + c, \ \ c = const. \)

Korzystając z tego twierdzenia proszę dobrać stałe, \( a, b \) tak, by funkcja \( G \) była funkcją pierwotną funkcji \( F(x). \)

W następnej kolejności znajdujemy ekstremum lokalne funkcji \( G(x) \) (o ile takie istnieje).