23. Buty w szafie

[Januszgolenia]

W szafie jest 10 par butów. Pobieramy losowo 4 buty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy co najmniej jedna parę.

[eresh]

W szafie jest 10 par butów. Pobieramy losowo 4 buty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy co najmniej jedna parę.

\(\overline{\overline{\Omega}}={20\choose 4}\)
\(A' \)- zdarzenie polegające na tym, że nie wylosujemy ani jednej pary

z 10 par butów wybieram 4 pary i z każdej wybranej pary losuję po jednym bucie
\(\overline{\overline{A'}}={10\choose 4}\cdot 2^4\)

\(P(A)=1-\frac{{10\choose 4}\cdot 2^4}{{20\choose 4}}\)

[janusz55]

Doświadczenie losowe polega na losowym pobraniu czerech butów spośród dziesięciu par butów.

Oznaczenia:

\( L_{1}, L_{2},..., L_{10} \) - buty - lewe

\( P_{1}, P_{2},..., P_{10} \) - buty prawe.

W ten sposób \( (L_{k}, P_{k}), \ \ k = 1,2, ..., 10 \) oznacza parę butów.

\( A \) - zdarzenie spośród wylosowanych butów znajduje się co najmniej jedna para.

Zdarzenie przeciwne

\( \overline{A} \) - wśród wybranych butów nie ma ani jednej pary.

Układy sprzyjające zdarzeniu \( \overline{A} \)

\( 0 \) butów ze zbioru \( L \) i \( 4 \) buty ze zbioru \( P \)

Takich układów jest \( {10 \choose 0} \cdot {10\choose 4} \)

\( 1 \) but ze zbioru \( L \) i \( 3 \) buty ze zbioru \( P \) z wyłączeniem buta od pary z \( L \)

Takich układów jest

\( {10\choose 1} \cdot {9 \choose 3} \)

\( 2 \) buty ze zbioru \( L \) i \( 2 \) buty z \( P \) z wyłączeniem \( 2 \) butów od pary z \( L \)

Takich układów jest \( {10 \choose 2}\cdot {8 \choose 2} \)

Trzy buty ze zbioru \( L \) i \( 1 \) but z \( P \) z wyłączeniem trzech butów od pary z \( L \)

Takich układów jest \( {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 3}\)

Cztery buty ze zbioru \( L \) i \( 0 \) butów z \( P \) z wyłączeniem czterech butów od pary z \( L \)

Takich układów jest \( {10\choose 4}\cdot {6 \choose 4} \)

Wszystkich sprzyjających układów jest

\( {10 \choose 0} \cdot {10\choose 4} + {10\choose 1} \cdot {9 \choose 3} + {10 \choose 2}\cdot {8 \choose 2} +{10 \choose 3}\cdot {7 \choose 3}+ {10\choose 4}\cdot {6 \choose 4} = {10 \choose 4} \left [ {4\choose 0} + {4\choose 1} + {4\choose 2} + {4\choose 3} +{4\choose 4} \right] = {10 \choose 4}\cdot 2 ^{4} \)

Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

\( P(\overline{A}) = \frac{{10 \choose 4}\cdot 2 ^{4}}{{20 \choose 4}} \)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \)

\( P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{{10 \choose 4}\cdot 2^{4}}{{20 \choose 4}} \approx 0,30. \)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> PA = 1 - (choose(10,4)*2^4)/(choose(20,4))
> PA
[1] 0.3065015

Interpretacja otrzymanego wyniku

Realizując doświadczenie losowe możemy oczekiwać, że w około \( 30\%\) ogólnej liczby wyborów czterech butów, otrzymamy co najmniej jedną ich parę.

Uwaga
Nie losujemy czterech par butów tylko cztery buty spośród dziesięciu par butów.