forum.zadania.info

Równanie \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\) dla \(a,b,c,d \in \rr\) :
Umiałby ktoś w fajny sposób wyjaśnić czemu takie równanie może nie mieć rozwiązań?

Wszystko z powodu \(x^4\). Dla dodatnich i ujemnych iksów wartości wielomianu z lewej strony są dodatnie i nie może się zdarzyć, że wszystkie są większe od zera.
Gdyby najwyższa potęga była \(x^5\), to dla dodatnich odpowiednio dużych miałaby wartości dodatnie, a dla ujemnych (być może bardzo ujemnych) wartości ujemne, więc musiałaby kiedyś przyjąć wartość zero.
Przy wielomianach parzystego stopnia takiego "musu" nie ma.

(sposób wyjaśnienia zależy od tego na jakim poziomie nauczania jesteś, mam nadzieję, że w razie potrzeby przełożysz to sobie na potrzebny język matematyki.)

Albo:
Każdy wielomian stopnia czwartego można zapisać jako iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego. Czy one mają pierwiastki - decydują ich wyróżniki... może się zdarzyć tak, że oba są ujemne...
Np.
\(w(x)=(x^2+1)(x^2-x+1)=\cdots\)
nie ma pierwiastków i równanie \(w(x)=0\) nie ma rozwiązań!

Pozdrawiam