forum.zadania.info

Udowodnij, że jeśli \(a=-2b=-2c\) to równanie \(ax^2+bx+c=0\) ma dwa rozwiązania.

Dla \(a\ne 0\) mamy
\(\Delta= b^2-4ac=(-{1\over2}a)^2-4a\cdot(-{1\over2}a)=\cdots>0\)

Pozdrawiam

A czy nie powinno być delta większa lub równa zero? Przecież mamy mieć dwa rozwiązania czyli dopuszczamy równość.

gr4vity pisze: ↑19 sty 2021, 16:04 Przecież mamy mieć dwa rozwiązania czyli dopuszczamy równość.

Nie, jeśli \(\Delta=0\), to równanie ma jeden podwójny pierwiastek! Poza ty \(a\ne0\)!

Pozdrawiam

To dlaczego przykładowo w takim zadaniu:
Dla jakiego parametru ,,m'' równanie (...) ma takie dwa pierwiastki, że jeden z nich jest kwadratem drugiego.
Dlaczego w tym przypadku deltę zaznaczamy jako większą lub równą zero ?

Jeśli w treściach zadań szkolnych z funkcji kwadratowej nie jest napisane " dwa różne rozwiązania" a tylko "dwa rozwiązania", to przyjmuje się warunek \(\Delta \geq 0 .\)

Dziękuję bardzo

janusz55 pisze: ↑19 sty 2021, 18:15 a tylko "dwa rozwiązania", to przyjmuje się warunek \(\Delta \geq 0 .\)

Bzdura do kwadratu.

Być może w bardziej zaawansowanej matematyce to jest bzdura aczkolwiek.
Przykładowo jeżeli w zdaniu mówimy o dwóch rozwiązaniach i nie ma użytego słowa różne to musimy uwzględnić że x1 może = x2.
I wtedy mimo że mamy 1 rozwiązanie jako cyfrę , To mamy dwa rozwiązania jako pojęcie.

To nie jest bzdura, to jest konwencja przyjęta w szkolnych podręcznikach. Patrz np. MATEMATYKA 2 Henryka Pawłowskiego czy Marcin Kurczab , Elżbieta Kurczab, Marcin Świda Matematyka 2 (zakres rozszerzony).

Strasznie jako tegoroczny maturzysta ubolewam nad tą konwencją bo jest dla mnie trochę śmieszna, no ale cóż.

Zanim padła żelazna kurtyna uczono tak:
Jeśli wyróżnik w równaniu kwadratowym był zerowy to równanie miało jedno rozwiązanie, ale dwa równe pierwiastki.
Liczba pierwiastków wynikała bezpośrednio z podstawowego twierdzenia algebry, które wtedy brzmiało: ''wielomian n-tego stopnia ma n pierwiastków'' .
Potem, wykorzystując koniunkturę na drukowanie podręczników, zaczęto zgapiać z ''zachodnich'' książek gdzie pierwiastki utożsamiano z rozwiązaniami, i wtedy pojawiły się pierwiastki wielokrotne. Zaczęto pisać, że zerowy wyróżnik w równaniu kwadratowym to jedno rozwiązanie i pierwiastek podwójny.
Ale że przy zerowym wyróżniku są dwa rozwiązania, to dla mnie nowość i kwadratowa bzdura.

Właśnie, to działa w ten sposób że zerowy wykładnik oznacza jedno rozwiązanie. Ale wykładnik >=0 oznacza dwa rozwiązania, wykładnik >0 oznacza dwa różne. Tak wygląda to z podręcznika:
\Delta<0 - to równanie nie ma pierwiastków,
\Delta=0 - to równanie ma jeden pierwiastek,
\Delta >= 0 - to równanie ma dwa pierwiastki,
\Delta>0 - to równanie ma dwa różne pierwiastki.
I mimo że są tu pierwiastki to takie same warunki stosujemy jak w zadaniu są rozwiązania.

Zapytam z ciekawości, jaki wyróżnik dałbyś do tego zadania?:
Dla jakich wartości parametru ,,m'' rozwiązania x1,x2 równania ... spełniają warunek x1=x2^2
?

gr4vity pisze: ↑19 sty 2021, 18:41 Być może w bardziej zaawansowanej matematyce to jest bzdura aczkolwiek.

Odejdźmy od matematyki...
Jeśli ktoś mówi, że ma dwoje dzieci, to zapytasz go, czy są różne? Nie, przyjmujesz, że jest ich dwoje!
Ojciec jedynaka na pytanie czy ma dzieci - odpowie: tak, mam.

Zatem:
\(\Delta\ge0\), jeśli równanie kwadratowe ma
-) rozwiązania,
-) rozwiązania \(x_1,x_2\), bo może być \(x_1=x_2\)
\(\Delta>0\), jeśli równanie kwadratowe ma
-) dwa rozwiązania, dopisanie "różne" jest ukłonem autora w stronę zdającego i kerajs ma rację

gr4vity pisze: ↑19 sty 2021, 18:41 Przykładowo jeżeli w zdaniu mówimy o dwóch rozwiązaniach i nie ma użytego słowa różne to musimy uwzględnić że x1 może = x2.
I wtedy mimo że mamy 1 rozwiązanie jako cyfrę , To mamy dwa rozwiązania jako pojęcie.

Nie! Mamy jedno rozwiązanie, tylko podwójne!

Wyjątkiem jest np.

Wielomian stopnia \(n\) zmiennej zespolonej ma \(n\) pierwiastków, liczonych z dokładnością do krotności

ale tu nie ma zastosowania

Pozdrawiam
ja i Jerry, czyli... jedna osoba

gr4vity pisze: ↑19 sty 2021, 19:31 Zapytam z ciekawości, jaki wyróżnik dałbyś do tego zadania?:
Dla jakich wartości parametru ,,m'' rozwiązania x1,x2 równania ... spełniają warunek x1=x2^2
?

Odpowiedź znajdziesz w moim poprzednim poście... widzę, że za długo go pisałem...

Pozdrawiam
PS. Pora pisać w kodzie!