forum.zadania.info

\( \Lim_{x\to 0} \frac {cosx^2- cosx}{x^2}\)
\(\Lim_{x\to 0^+} \frac {ln(1-x)}{\arcsin 3x}\)

aaleksaandraa pisze: ↑18 sty 2021, 15:19 \( \Lim_{x\to 0} \frac {cosx^2- cosx}{x^2}\)

\( \Lim_{x\to 0} \frac {\cos x^2- \cos x}{x^2}=\Lim_{x\to 0}\frac{-2\sin{x^2-x\over2}\sin{x^2+x\over2}}{x^2}=
\Lim_{x\to 0}\frac{\sin{x^2-x\over2}\sin{x^2+x\over2}}{{x^2-x\over2}\cdot{x^2+x\over2}}\cdot \frac{-2\cdot{x^2-x\over2}\cdot{x^2+x\over2}}{x^2}=\\ \qquad=
\Lim_{x\to 0}\frac{\sin{x^2-x\over2}\sin{x^2+x\over2}}{{x^2-x\over2}\cdot{x^2+x\over2}}\cdot \frac{-2\cdot(x^2-1)}{\color{red}{4}}=
1\cdot1\cdot\frac{-2\cdot(0-1)}{\color{red}{4}}=\color{red}{1\over2}\)

Pozdrawiam

[edited] po poniższym poprawka błędu rachunkowego

aaleksaandraa pisze: ↑18 sty 2021, 15:19 \(\Lim_{x\to 0^+} \frac {ln(1-x)}{\arcsin 3x}\)

\(\Lim_{x\to 0^+} \frac {\ln(1-x)}{\arcsin 3x}=\left[{0\over0}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to 0^+} \frac {{1\over1-x}\cdot(-1)}{{1\over\sqrt{1-(3x)^2}}\cdot 3}=-{1\over3}\)

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑18 sty 2021, 16:41

aaleksaandraa pisze: ↑18 sty 2021, 15:19 \( \Lim_{x\to 0} \frac {cosx^2- cosx}{x^2}\)

\( \Lim_{x\to 0} \frac {\cos x^2- \cos x}{x^2}=\Lim_{x\to 0}\frac{-2\sin{x^2-x\over2}\sin{x^2+x\over2}}{x^2}=
\Lim_{x\to 0}\frac{\sin{x^2-x\over2}\sin{x^2+x\over2}}{{x^2-x\over2}\cdot{x^2+x\over2}}\cdot \frac{-2\cdot{x^2-x\over2}\cdot{x^2+x\over2}}{x^2}=\\ \qquad=
\Lim_{x\to 0}\frac{\sin{x^2-x\over2}\sin{x^2+x\over2}}{{x^2-x\over2}\cdot{x^2+x\over2}}\cdot \frac{-2\cdot(x^2-1)}{2}=
1\cdot1\cdot\frac{-2\cdot(0-1)}{2}=1\)

Pozdrawiam

Nie powinno wyjść tutaj \( \frac{1}{2} \)? Ja de Hospitalem uzyskałem \( \frac{1+2*0}{2} \)

m4rc3ll pisze: ↑18 sty 2021, 18:38 Nie powinno wyjść tutaj \( \frac{1}{2} \)? Ja de Hospitalem uzyskałem \( \frac{1+2*0}{2} \)

Powinno... i poprawiłem, bo \(2\cdot2\ne2\).

Dziękuję Ci, januszowi55 również, za czujność, pozdrawiam
PS. ... regułą de l'Hospitala...