forum.zadania.info

Obliczyć całkę z funkcji \(f(x)=\) \( \begin{cases} -x &,\text{dla} &x \in [0, \pi ] \cap \qq \\ \sin x &,\text{dla}& x \in [0, \pi ] \bez \qq\end{cases} \) na przedziale [\(0, \pi \)]
Ta funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna, ale jest całkowalna w sensie Lebesgue'a.
Jak liczyć takie całki Lebesgue'a? Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć?

\( f(x) = \begin{cases} -x &,\text{dla} &x \in [0, \pi ] \cap \qq \\ \sin x &,\text{dla}& x \in [0, \pi ] \bez \qq\end{cases}\)

Ponieważ \( m(\qq) = 0, \)

więc

\( \int_{[0, \pi]} f(x) dm = \int_{0}^{\pi} \sin(x) dm = \int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)] _{0}^{\pi} = 1 + 1 = 2.\)

Dzięki, czy ja dobrze rozumiem, że generalnie całka Lebesgue'a z jakiejś funkcji na zbiorze przeliczalnym jest równa 0?
A co by było gdyby \(-x\) był określony na jakimś zbiorze miary większej od 0, np na \([4,6] \bez \qq\)? Byłaby to suma całek iterowanych?

Istnieje takie kryterium Lebesque'a całkowalności w sensie Riemanna.

"Funkcja ograniczona na przedziale zwartym jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy miara Lebesque'a zbioru jej punktów nieciągłości wynosi zero"

Funkcja Twoja nie jest całkowalna na przedziale \( [0, \pi ] \) ponieważ każdy punkt przedziału \( [0, \pi) \) jest jej punktem nieciągłości.

Wracając do pytania - poza zmianą przedziału nic by się nie zmieniło.