forum.zadania.info

Wyznacz asymptoty:
\(f(x)= \frac{1-x^2}{x+2} \)

kate84 pisze: ↑15 sty 2021, 11:36 Wyznacz asymptoty:
\(f(x)= \frac{1-x^2}{x+2} \)

\(\Lim_{x\to -2^+}f(x)=[\frac{-3}{0^+}]=-\infty\\
\Lim_{x\to -2^-}f(x)=[\frac{-3}{0^-}]=+\infty\\
x=-2\mbox{ asymptota pionowa}
\)
\(\Lim_{x\to \infty}\frac{1-x^2}{x(x+2)}=-1\\
\Lim_{x\to\infty}(\frac{1-x^2}{x+2}+x)=\Lim_{x\to\infty}\frac{1-x^2+x^2+2x}{x+2}=2\\
y=-x+2\mbox{ asymptota ukosna}\)

Albo:
\(f(x)= \frac{1-x^2}{x+2}=\frac{-x^2-2x+2x+4-3}{x+2}=\color{blue}{-x+2}-{3\over \color{green}{x+2}} \)
skąd asymptota ukośna \(y=-x+2\) i pionowa \(x+2=0\)

Pozdrawiam

Gdy badana funkcja jest wymierna i stopień jej wielomianu licznika jest o jeden większy od stopnia wielomianu mianownika wtedy istnienie asymptoty ukośnej (pochyłej) przedstawiamy w ten sposób:

\(|f(x) -( -x +2)|= \left| \frac{1 -x^2}{x+2} - (-x + 2) \right |= \left|-\frac{3}{x+2} \right | \rightarrow 0 \), gdy \( x \ \ \rightarrow \mp \infty. \)

Metodę tą stosował przy badaniu funkcji wymiernych Śp. Prof. Roman Leitner. Miałem przyjemność uczestniczyć w jego wykładach.