forum.zadania.info

Udowodnić, że jeśli funkcja \(a\(\)\) jest ograniczona na zbiorze dodatniej miary wewnętrznej w \(\mathbb{R}^n\) to funkcja addytywna \(a: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) jest ciągła.

Jak to udowodnić ma ktoś jakiś pomysł?
Próbowałam udowodnić, że jeśli funkcja \(a\) jest ograniczona z góry na zbiorze dodatniej miary wewnętrznej to funkcja addytywna jest ciągła. Wiemy też że jesli funkcja jest ograniczona to jest też ograniczona z góry ale jakby to można było udowodnić?

Wydaje mi się, że coś jest nie tak z tym zadaniem. Mogę się mylić, ale wydaje mi się, że dodatnia miara dziedziny nie wyklucza możliwości zawierania się w niej punktów izolowanych, w których funkcja z pewnością nie byłaby ciągła.

Ale w sumie chyba addytywność wyklucza taką możliwość.

mam udowodnić (i) dla funkcji ograniczonej.

tutaj dowód gdy mamy ograniczoność z góry

A co to jest twierdzenie 3.2?

Twierdzenie 3.2

Przepraszam najmocniej. Obawiam się, że chyba nie jestem w stanie ci pomóc. Mieliśmy przestrzenie topologiczne na czwartym semestrze na geometrii, ale były one omówione bardzo pobieżnie. Czy słusznie zakładam, że jesteś na studiach magisterskich?