sinusek pisze: ↑10 sty 2021, 20:40
W trójkącie
\(ABC: |CA|=b, |BA|=c, |BC|=a\) i
\(a^2+b^2=5c^2\)
Udowodnij, że środkowe
\(AD\) i
\(BE\) są prostopadłe.
Z góry dzięki!
S - punkt przecięcia środkowych
\(|AS|=2x\\
|SD|=x\\
|BS|=2y\\
|SE|=y\)
\(|\angle ASB|=\alpha\)
trójkąt ASB:
\(c^2=4x^2+4y^2-8xy\cos\alpha\)
trójkąt SDB
\(\frac{1}{4}a^2=4y^2+x^2-4xy\cos(180^{\circ}-\alpha)\\
a^2=16y^2+4x^2+16xy\cos\alpha\)
trójkąt AES
\(\frac{1}{4}b^2=4x^2+y^2-4xy\cos(180^{\circ}-\alpha)\\
b^2=16x^2+4y^2+16xy\cos\alpha\)
\(a^2+b^2=5c^2\\
16y^2+4x^2+16xy\cos\alpha+16x^2+4y^2+16xy\cos\alpha=20x^2+20y^2-40xy\cos\alpha\\
\cos\alpha=0\\
\alpha=90^{\circ}\)