Oblicz całkę nieoznaczoną (przez części)

[Januszgolenia]

\( \int_{}^{} x^2arctg(x)dx\)

[eresh]

\( \int_{}^{} x^2arctg(x)dx\)

\(\int x^2\arctg xdx=\begin{bmatrix}f(x)=\arctg x & f'(x)=\frac{1}{x^2+1}\\g'(x)=x^2 & g(x)=\frac{1}{3}x^3 \end{bmatrix}=\frac{1}{3}x^3\arctg x-\frac{1}{3}\int \frac{x^3dx}{x^2+1}=I\\
\int\frac{x^3dx}{x^2+1}=\int xdx-\int\frac{xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+c\\
I=\frac{1}{3}x^3\arctg x-\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{6}\ln(x^2+1)+C\)

[Januszgolenia]

Nie wiem dlaczego \( \int_{}^{} \frac{x^3dx}{x^2+1}= \int_{}^{} xdx- \int_{}^{} \frac{xdx}{x^2+1}\)

[eresh]

Nie wiem dlaczego \( \int_{}^{} \frac{x^3dx}{x^2+1}= \int_{}^{} xdx- \int_{}^{} \frac{xdx}{x^2+1}\)

\(\frac{x^3}{x^2+1}=\frac{x^3+x-x}{x^2+1}=\frac{x(x^2+1)-x}{x^2+1}=\frac{x(x^2+1)}{x^2+1}-\frac{x}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}\)

[Galen]

Możesz też podzielić pisemnie licznik przez mianownik.
\((x^3+0x^2+0x+0):(x^2+1)=x;\;\;\;\;reszta;\;\;\;R(x)=-x\)
Wtedy licznik ma postać
\(x^3=x(x^2+1)+(-x)\)
I dalej jest już prosto...