forum.zadania.info

Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej opisuje funkcja gęstości:



1) Wyznacz stałą C
2) Zbadaj czy zmienne losowe X i Y są nieskorelowane i czy są niezależne.
3) Wyprowadź wzór na linie regresji II-go rodzaju.
4) Wyznacz rozkłady warunkowe i linie regresji I-go rodzaju.

awatar555 pisze: ↑20 gru 2020, 16:42 Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej opisuje funkcja gęstości:



1) Wyznacz stałą C

Musi być spełniony warunek:
\(\displaystyle{ \iint_{\rr^2} f(x,y)\,{dx}{dy}=1 \iff c \int_{0}^{1}\,{dx} \int_{0}^{1}(x+y)\,{dy} =1 \iff c\int_{0}^{1} (x+ \frac{1}{2})\,{dx} =1 \iff c\cdot 1=1 \iff c=1
}\)

Odpowiedź: \( c=1\)

awatar555 pisze: ↑20 gru 2020, 16:42 Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej opisuje funkcja gęstości:


2) Zbadaj czy zmienne losowe X i Y są nieskorelowane i czy są niezależne.

Potrzebujemy rozkłady brzegowe \(f_X\) oraz \(f_Y\).
\(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} \int_{0}^{1} f(x,y)dy= \int_{0}^{1}(x+y)\,{dy} =x+ \frac{1}{2} & \text{ dla } \,0\le x \le 1\\0& \text{ poza tym}\end{cases} \\
f_Y(y)= \begin{cases} \int_{0}^{1} f(x,y)dx= \int_{0}^{1}(x+y)\,{dx} =y+ \frac{1}{2} & \text{ dla } \,0\le y \le 1\\0& \text{ poza tym}\end{cases}}\)

\(f_X(x) \cdot f_Y(y)=(x+0,5)(y+0,5)\neq x+y=f(x,y)\) - zmienne nie są niezależne.
Współczynnik korelacji \(\displaystyle{r= \frac{Cov(X,Y)}{ \sqrt{VarX} \sqrt{VarY} } }\)

\(Cov(X,Y)=E(XY)-EX \cdot EY,\quad VarX=EX^2-(EX)^2, \quad VarY=EY^2- (EY)^2\)

Jak widać policzenia wymagają \(EX, EY, EXY, EX^2, EY^2\)

\[EX= \int_{0}^{1}x(x+0,5)\,{dx} \text{ podobnie } EY= \int_{0}^{1}y(y+0,5)\,{dy}\\
EX^2=EX= \int_{0}^{1}x^2(x+0,5)\,{dx} \text{ podobnie } EY= \int_{0}^{1}y^2(y+0,5)\,{dy}\\
E(XY)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}xy(x+y)\,{dx}{dy} = \int_{0}^{1}x\,{dx} \int_{0}^{1}(x+y)y\,{dy} = \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}x+ \frac{1}{3}\right)x\,{dx} = \frac{1}{3} \]

Policzenie pozostałych całek oraz podstawienie do wzoru pozostawiam jako wkład własny w rozwiązanie.

Żeby nie było, że zadanie nierozwiązane, podam

Odpowiedź: \(\displaystyle r=- \frac{1}{11}\approx 9\% \)

Dzięki! A ktoś pomógłby z 3/4?

awatar555 pisze: ↑20 gru 2020, 16:42 Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej opisuje funkcja gęstości:


3) Wyprowadź wzór na linie regresji II-go rodzaju.

"Dzięki! A ktoś pomógłby z 3/4?" - to za mało, tu trzeba kliknąć to i owo ...

Linia regresji II rodzaju to kwestia wstawienia do wzoru.
\(\hat{y}=a+bx,\quad b= \frac{Cov(X,y)}{VarX},\quad a=EX-bEY \)

I żeby nie było, to te wzory są w necie.