Strona 1 z 2
rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 17:20
autor: Mikson1205
1.
Niech X będzie zmienną losową o gęstości
\(g(x) = \frac{1}{2} \sin x 1 [0,\Pi] (x)\). Pokaż, że π - X ma
taką samą dystrybucję jak X.
2.
Niech X będzie zmienną losową z rozkładu dwumianowego B (n, p). Sprawdź, czy n - X ma rozszerzenie
rozkład dwumianowy B (n, 1 - p).
3.
Losowo rysujemy punkt z dysku o promieniu R. Niech X oznacza odległość tego punktu
od środka dysku. Znajdź rozkład X^{2}
4.
Niech X będzie zmienną losową o gęstości
\(g (x) = \frac{1}{2} x 1 [0,2] (x)\). Znajdź rozkład Y =
min {X - 1, 0}. Czy Y ma funkcję gęstości?
5.
Niech X będzie zmienną losową z rozkładu dwumianowego z parametrami 5 i
\(\frac{1}{3}\) . Znajdź EX
i E(4X - 1).
Czy ktoś mógłby pomóc rozwiązać te zadanka i wytłumaczyć co się skąd bierze? Mam "nóż na gardle'' na studiach, a nie wiem od czego tutaj zacząć. Odwdzięczę się łapkami
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 17:43
autor: panb
1. \(g(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}\sin x &\text{dla}&x\in[0,\pi]\\0&w & p. p. \end{cases} \)
Dla zmiennej \(\pi-X\) funkcja gęstości ma postać \(f(x)= \frac{1}{2}\sin(\pi-x) \cdot \mathbb{1}_{[0,\pi]}\)
Ponieważ \(\sin(\pi-x)=\sin x\), więc \(f(x)= \frac{1}{2}\sin x \cdot \mathbf{1}_{[0,\pi]}=g(x)\)
Wobec tego obie zmienne maja taki sam rozkład (dystrybucję?)
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 18:10
autor: Mikson1205
Dziękuję
w 5. EX wyszło mi 1,66, a E(4X-1) 5,64 myślę, że jest okej, ale nie mam pewności.
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 18:11
autor: Mikson1205
Analizuję pierwsze i wydaję mi się, że jest okej i, że już rozumiem jak to rozwiązać
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 18:21
autor: panb
2. \(X\sim B(n,p) \So P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\,\,\, k=1,2, ..., n \\
P(n-X=k)=P(X=n-k)=\dbinom{n}{n-k}p^{n-k}(1-p)^k=\dbinom{n}{k}p^{n-k}(1-p)^k=\\
\:\:=\dbinom{n}{k}q^k(1-q)^{n-k}, \,\,\, k=1,2,3, ..., n\)
Jeśli zmienna \(Y\sim B(n, 1-p) \So P(Y=k)=\dbinom{n}{k}q^k(1-q)^{n-k}, \,\,\text{ gdzie }\,\, q=1-p, \,\, k=1, 2, 3, ..., n\)
Jak widać zmienne X i Y mają takie same rozkłady zatem zmienna \(Y=n-X\) ma rozkład \(B(n,1-p)\).
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 18:25
autor: panb
Mikson1205 pisze: ↑13 gru 2020, 18:10
Dziękuję
w 5. EX wyszło mi 1,66, a E(4X-1) 5,64 myślę, że jest okej, ale nie mam pewności.
Trzeba podać
dokładne wartości.
Nie 1,666 tylko
\( \frac{5}{3} \)
Podobnie z tą drugą liczbą. Nie 5,66 tylko ....
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 18:56
autor: Mikson1205
Jasne będę pamiętał na przyszlość
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 20:42
autor: Mikson1205
Jeżeli chodzi o zadanie 3 to próbowałem je zrobić, ale nie doszedłem do niczego. W 4 za to nie wychodzi mi CDF :/
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 22:22
autor: panb
Niech X będzie zmienną losową o gęstości \(g (x) = \frac{1}{2} x\cdot\mathbf{1}_{ [0,2]} (x)\). Znajdź rozkład Y = min {X - 1, 0}. Czy Y ma funkcję gęstości?
X przyjmuje wartości z przedziału [0,2], więc X-1 przyjmuje wartości z przedziału [-1,1]
\(F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\min\{X-1,0\}\le y)=1-P(\min\{X-1,0\}>y)=P(X-1>y, 0>y)\)
- \(\displaystyle {-1\le y <0\\
1-P(X-1>y,y<0)=1-P(X-1>y)=P(X-1\le y)=P(X<y+1)=\int_{0}^{y+1} \frac{1}{2}x\,{dx} \\
F_Y(y)= \frac{(y+1)^2}{4} }\)
- \(y\ge 0\\
1-P(X-1>y,y<0)=1-0=1\)
Reasumując
\[F_Y(y)= \begin{cases} 0&\text{dla}& y<-1\\ \frac{(y+1)^2}{4} &\text{dla}& -1 \le y <0 \\ 1&\text{dla}& y \ge 0 \end{cases} \]
Gdybyśmy chcieli teraz znaleźć gęstość
\(f_y(t)=F'_Y(t)= \begin{cases} 0 &\text{dla}&X<-1\\ \frac{t+1}{2}&\text{dla}&-1\le t <0\\0&\text{dla}&t\ge 0 \end{cases}\).
Niestety nie może to być funkcja gęstości, bo
\(\displaystyle \int_{-1}^{0} f_y(t)\,{dt}= \frac{1}{4} \neq 1\).
Sprawdźmy, czy można tak dobrać
\(f_Y(0)\), żeby naprawić tę "niedogodność".
\(\displaystyle f_Y(0)=P(\min\{X-1,0\}=0)=P(X-1\le 0)=P(X\le1)= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x\,{dx}= \frac{1}{4} \)
W sumie teraz całka będzie równa
\(\frac{1}{2} \), więc nie udało się naprawić funkcji.
Wniosek: zmienna Y nie ma funkcji gęstości.
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 22:32
autor: Mikson1205
Super wszystko już rozumiem z tego zadania!! Dziękuję bardzo
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 13 gru 2020, 22:55
autor: panb
3. Losowo rysujemy punkt z dysku o promieniu R. Niech X oznacza odległość tego punktu od środka dysku. Znajdź rozkład \(X^{2}\).
Wyprowadzę wzór na gęstość prawdopodobieństwa zmiennej X:
\(f_X(x)\). Dalej dasz radę.
\(P(X\le x)\) to prawdopodobieństwo geometryczne. Wszystkich możliwości jest
\( \pi R^2\), a trafienie w odległości mniejszej niż x oznacza trafienie w okrąg o promieniu x, czyli
\(\pi x^2\).
Wobec tego
\[F_X(x)= \begin{cases} 0 & \text{dla}& x<0\\ \frac{\pi x^2}{\pi R^2}& \text{dla}&0\le x <R \\1 &\text{dla}& x\ge R \end{cases} \\ f_X(x)=F'_X(x)= \begin{cases} 0& \text{dla}& x<0 \\ \frac{2x}{R^2}& \text{dla}&0\le x <R \\0 & \text{dla}& x\ge R \end{cases} \]
Sprawdzenie:
\(\displaystyle \int_{0}^{R} \frac{2x}{R^2}\,{dx}=1 \), więc
\(f_X(x)\) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej X.
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 14 gru 2020, 08:02
autor: Mikson1205
Dziękuję, dziś wieczorem spróbuję sam to dokończyć i dam znać czy mi się udało
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 14 gru 2020, 18:39
autor: Mikson1205
Próbowałem rozwiązać to zadanie, ale nie mam pomysłu od czego zacząć. Moim jedynym pomysłem jest wzięcie pod uwagę, że teraz odległość wynosi X^2 więc rozkład będzie wyglądał w ten sposób co u Ciebie tylko będzie się różnił środkowym wyrażeniem, które będzie wynosiło:
\frac{\Pi * x^4}{\Pi * R^4}
,a w CDF
\frac{4x^3}{R^4}
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 14 gru 2020, 19:21
autor: panb
Jeśli masz funkcję gęstości \(\displaystyle{ f(x), \So EX^2= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2f(x)\,{dx}\\
\text{ i ogólnie } E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\,{dx} }\)
Re: rachunek prawdopodobieńswa
: 14 gru 2020, 19:42
autor: Mikson1205
Czyli generalnie odpowiedź będzie taka jak fx(x) ze środkowym wyrazem równym \(\frac{2x^3}{R^2} \) ? Dobrze rozumiem, że wystarczy przemnożyć f(x) przez x^2?