Oblicz moment statyczny

[2001]

Oblicz moment statyczny względem płaszczyzny OYZ krzywej określonej równaniami: \(L : y = \sqrt{1-x^2}, z = 1, x \in [0,1]\), jeżeli jej gęstość masy \( \delta (x,y,z) = ye^{-x \sqrt{(x^2+y^2}}\)

[panb]

Oblicz moment statyczny względem płaszczyzny OYZ krzywej określonej równaniami: \(L : y = \sqrt{1-x^2}, z = 1, x \in [0,1]\), jeżeli jej gęstość masy \( \delta (x,y,z) = ye^{-x \sqrt{(x^2+y^2}}\)

\[M_{yz}=\int_L x\delta(x,y,z)\,{dl} \\
\begin{cases}x=\cos t&x'=-\sin t\\y=\sin t &y'=\cos t\\t\in [0, \frac{\pi}{2} ] \end{cases} \So M_{yz}= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\cos t \cdot \sin t \cdot e^{-\cos t \sqrt{\sin^2t+\cos^2t}} \, {dl} =\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\sin t\cos te^{-\cos t}\, {dl}\\
dl=\sqrt{(-\sin t)^2+\cos^2t}\, {dt}=dt\\
M_{yz}= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \sin t\cos te^{-\cos t}\, {dt}= \frac{e-2}{e} \]

Ostatnią całkę łatwo policzyć przez podstawienie, a potem przez części.