forum.zadania.info

Znajdź funkcje odwrotne do danych (określ przedział dla których ta funkcja istnieje):
a) \(y=\arcsin(3x)\)
b) \(y=1-\arccos ( \frac{x}{ \pi })) \)
c) \(y=\arcctg ( \sqrt{4x)} \)

Januszgolenia pisze: ↑27 lis 2020, 05:36 Znajdź funkcje odwrotne do danych (określ przedział dla których ta funkcja istnieje):
a) \(y=\arcsin(3x)\)

\(y=\arcsin(3x),\,\,-1\le 3x \le 1,\,\,\, - \frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \So - \frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3},\,\,\, - \frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \\
y=\arcsin(3x) \iff \sin y=3x \iff x= \frac{1}{3}\sin y \)

Odpowiedź: Funkcja odwrotna jest określona wzorem \(y= \frac{1}{3}\sin x \text{ dla } x\in [- \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ]\)

I jeszcze ilustracja:

Januszgolenia pisze: ↑27 lis 2020, 05:36 Znajdź funkcje odwrotne do danych (określ przedział dla których ta funkcja istnieje):
b) \(y=1-\arccos ( \frac{x}{ \pi })) \)

\(y=1-\arccos \frac{x}{ \pi } \So -1\le \frac{x}{\pi} \le 1, \,\,\, 0 \le \arccos \frac{x}{ \pi } \le \pi \iff -\pi \le x \le \pi,\,\, -\pi \le -\arccos \frac{x}{ \pi } \le 0 \\
-\pi \le x \le \pi,\,\, 1-\pi \le 1- \arccos \frac{x}{ \pi } \le 1 \iff -\pi \le x \le \pi,\,\, 1-\pi \le y \le 1 \)
\[y=1-\arccos \frac{x}{ \pi } \iff \cos(1-y)= \frac{x}{\pi} \iff x=\pi\cos(1-y)\]

Odpowiedź: Funkcja odwrotna jest określona wzorem \(y=\pi\cos(1-x),\,\, x\in [1-\pi ,1]\)

Jeszcze obrazek ilustrujący sytuację:

Może przykład c) spróbujesz samodzielnie (jako ćwiczenie).

Dla zachęty, obrazek: