Szeregi potęgowe środki/współczynniki/promienie

[niqo]

Wyznaczyć środki, współczynniki oraz obliczyć promienie zbieżności podanych szeregów potęgowych.

[panb]

Definicja 1
Załóżmy, że \(x_0\)​ jest ustaloną liczbą rzeczywistą oraz \((c_n)​\) jest nieskończonym ciągiem liczbowym.
Szereg \[ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\ldots \] gdzie \(x\in\rr \) nazywamy szeregiem potęgowym o środku \(x_0\) i współczynnikach \(c_0, c_1, c_2, \ldots\)

Definicja 2
Jeżeli istnieje granica \( \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{c_n}=q \), to liczbę R określoną następująco \[ \begin{cases} R=0 & \text{ w przypadku, gdy }& q=\infty \\R=\infty & \text{ w przypadku, gdy }& q=0\\ R= \frac{1}{q}& \text{ w przypadku, gdy }&x\in(0,\infty) \end{cases} \] nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego \(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\)

Czy to załatwia problem? Jeśli nie, to z czym jest kłopot?

[niqo]

Definicja 1
Załóżmy, że \(x_0\)​ jest ustaloną liczbą rzeczywistą oraz \((c_n)​\) jest nieskończonym ciągiem liczbowym.
Szereg \[ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\ldots \] gdzie \(x\in\rr \) nazywamy szeregiem potęgowym o środku \(x_0\) i współczynnikach \(c_0, c_1, c_2, \ldots\)

Definicja 2
Jeżeli istnieje granica \( \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{c_n}=q \), to liczbę R określoną następująco \[ \begin{cases} R=0 & \text{ w przypadku, gdy }& q=\infty \\R=\infty & \text{ w przypadku, gdy }& q=0\\ R= \frac{1}{q}& \text{ w przypadku, gdy }&x\in(0,\infty) \end{cases} \] nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego \(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\)

Czy to załatwia problem? Jeśli nie, to z czym jest kłopot?

Szczerze mówiąc liczyłem na konkretne odpowiedzi, ponieważ muszę to mieć na jutro a ciężko mi idzie zrozumienie szeregów, takie definicje również mam jednak nic mi one nie wyjaśniają Jeżeli jest taka szansa to czy poleca pan jakieś tłumaczenia na youtube, ponieważ na lekcji to nawet nie wiem o co zapytać nauczyciela tak szczerze

[panb]

Do jutra jeszcze daleko. Środek jest prostą sprawą i na pewno dasz radę.
Oto przykład:
a)\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{2^n}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}(x-3)^n \)
Jeśli to porównasz z definicją, to na pewno zauważysz, że środek \(x_0=3\). Policz pozostałe, podaj wyniki - pomyślimy o promieniach zbieżności.

Podaj odpowiedzi do b) i c)

[niqo]

Z tego co mi się wydaję to w b) środek będzie -5, a w c) ten sin trzeba jakoś usunąć chyba a i nie będzie to po prostu -1?
Ja naprawdę nic nie rozumiem z tego

[panb]

Tak, to właśnie jest dobra odpowiedź. To naprawdę było łatwe.

[niqo]

Jejku no tego się nie spodziewałem

[panb]

To teraz obiecane promienie.
Najpierw trzeba zidentyfikować \((c_n)\), zrobię przykład c), bo widzę, że masz z tym problem.
Weźmy szereg \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sin \frac{1}{n}(x+1)^n \). Jeśli "zasłonimy" ten fragment z iksem, to zostaje \(c_n=\sin \frac{1}{n} \)
Teraz stosujemy definicję 2.
\[q= \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{c_n}=\Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\sin \frac{1}{n}} =0 \]

Zgodnie z definicją 2, \(R=\infty\).

Zidentyfikuj \(c_n\) w podpunktach a) i b). Jeśli nie dasz rady policzyć granic, pomogę.

[panb]

Jejku no tego się nie spodziewałem

Wiedziałem, że ci to sprawi przyjemność. Mała rzecz, a cieszy!

[niqo]

W przykładzie b) R = 3/5 a w a) R = nieskończoność?
Cieszy w końcu coś rozumiem

[panb]

No już myślałem, że czeka mnie bezrobocie.
Na szczęście w a) jest źle. Po prostu ręka wyprzedziła myśl.
\(c_n= \frac{1}{2^n} \So \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2} \)

Dalej już na pewno poleci....

[niqo]

No w końcu musiałem popełnić błąd
Czyli R = 2 w przykładzie a)?

obliczanie zbieżności raczej ciężko mi idzie byłbym wdzięczny za wytłumaczenie również

[panb]

R=2, jest ok. Jeśli policzyłeś dobrze podpunkt b) to w a) po prostu się pomyliłeś.

Policzyłeś granicę z \( \frac{1}{2^n}=0\) i analogicznie do podpunktu c) zareagowałeś.
Tutaj jednak da się policzyć \( \sqrt[n]{ \frac{1}{2^n}}= \frac{1}{2} \), więc \( \Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{2^n}}= \Lim_{n\to \infty} \frac{1}{2}= \frac{1}{2} \)

[niqo]

Okej rozumiem, miałem na myśli w poprzednim pytaniu dokładniej jak określić teraz czy szereg jest zbieżny lub rozbieżny. W wzorach co mam tu podane są jakieś przedziały ale nie wiem za bardzo jak to odczytać

[niqo]

Jednak już wszystko jest pogubiłem się trochę, dziękuję za pomoc