oblicz lim

[anything1327]

Oblicz \(\Lim_{n\to \infty} a_n\) jeśli:

\(a_n = (\frac{n+4}{2n+3})^n\)

Podobne przykłady robiłem metodą z etrapez-a, ale w tym przypadku nie jest ona wystarczająca

[eresh]

Oblicz \(\Lim_{n\to \infty} a_n\) jeśli:

\(a_n = (\frac{n+4}{2n+3})^n\)

Podobne przykłady robiłem metodą z etrapez-a, ale w tym przypadku nie jest ona wystarczająca

\(\Lim_{n\to \infty}(\frac{1+\frac{4}{n}}{2+\frac{3}{n}})^n=[\frac{1}{2}]^{\infty}=0\)

[anything1327]

No przecież, aż mi głupio :/

[anything1327]

A jak mam np ten przykład

\(\Lim_{n\to \infty} (\frac{n^2+n-3}{n^2-2n-2})^{\frac{2n+1}{3}}\)

To już nie mogę go zrobić w taki sposób bo musi mi wyjsc wynik \(e^2\)

Jak to zrobić twierdzeniem Eulera?

[panb]

A jak mam np ten przykład

\(\Lim_{n\to \infty} (\frac{n^2+n-3}{n^2-2n-2})^{\frac{2n+1}{3}}\)

To już nie mogę go zrobić w taki sposób bo musi mi wyjsc wynik \(e^2\)

Jak to zrobić twierdzeniem Eulera?

Może tak zacznij
\(\displaystyle (\frac{n^2+n-3}{n^2-2n-2})^{\frac{2n+1}{3}}=(\frac{(n^2-2n-2)+3n-1}{n^2-2n-2})^{\frac{2n+1}{3}}\)

[anything1327]

I co dalej zrobić z 3n w liczniku?

[panb]

No, zwykle taki jest następny krok

\(\left(\frac{(n^2-2n-2)+3n-1}{n^2-2n-2}\right)^{\frac{2n+1}{3}}= \left(1+ \frac{1}{ \frac{n^2-2n-2}{3n-1} } \right)^{\frac{2n+1}{3}}\)

[anything1327]

Dzięki bardzo!

[panb]

No, zwykle taki jest następny krok

\(\left(\frac{(n^2-2n-2)+3n-1}{n^2-2n-2}\right)^{\frac{2n+1}{3}}= \left(1+ \frac{1}{ \frac{n^2-2n-2}{3n-1} } \right)^{\frac{2n+1}{3}}\)

Oj, chyba się pośpieszyłeś z tym podziękowaniem.

\[\left(1+ \frac{1}{ \frac{n^2-2n-2}{3n-1} } \right)^{\frac{2n+1}{3}}=\left(1+ \frac{1}{ \frac{n^2-2n-2}{3n-1} } \right)^{\frac{n^2-2n-2}{3n-1}\cdot \frac{3n-1}{n^2-2n-2}\cdot \frac{2n+1}{3} }= \left[ \left(1+ \frac{1}{ \frac{n^2-2n-2}{3n-1} } \right)^{\frac{n^2-2n-2}{3n-1}}\right]^ \frac{6n^2+n-1}{3n^2-6n-6} \]
I teraz
\[ \Lim_{n\to \infty }\left[ \left(1+ \frac{1}{ \frac{n^2-2n-2}{3n-1} } \right)^{\frac{n^2-2n-2}{3n-1}}\right]=e\\
\Lim_{n\to \infty } \frac{6n^2+n-1}{3n^2-6n-6}=2, \text{ więc} \]
\[ \Lim_{n\to \infty} \left( \frac{n^2+n-3}{n^2-2n-2} \right)^ \frac{2n+1}{3}=e^2 \]