forum.zadania.info

rozwiąż nierówność \( \sqrt{x^2} \ge x+4\)
\(|x| \ge x+4\)
dlaczego muszę to rozpisywać na przedziały, nie mogę zrobić po prostu tak: \(x \ge x+4 \) \(\vee\) \(x \le -x-4\)

Możesz, bo jest jedna wartość bezwzględna.

panb pisze: ↑18 lis 2020, 13:28 Możesz, bo jest jedna wartość bezwzględna.

według nauczyciela nie mogę i muszę rozpisywać na przedziały, więc już nie wiem.

To rozpisuj, nie ma co się kopać z koniem, a poza tym tak jest bezpieczniej.

Możesz rozważyć nierówność w dwóch przedziałach,a jednocześnie nie bawić się z modułem.
\(I\\x+4<0\\czyli\\x<-4\\x\in (-\infty;-4)\)
Nierówność jest spełniona,bo lewa strona nieujemna jest większa od prawej dodatniej.
II
\(x+4\ge 0\\x\ge-4\)
Obie strony są nieujemne,więc można podnieść je do potęgi drugiej i otrzymasz nierówność równoważną
\(x^2\ge (x+4)^2\\x^2\ge x^2+8x+16\\8x\le -16\\x\le-2\\x\in <-4;-2>\)

Sumując wyniki masz odpowiedź
\(x\in (-\infty;-2>\)

panb pisze: ↑18 lis 2020, 15:32 To rozpisuj, nie ma co się kopać z koniem, a poza tym tak jest bezpieczniej.

a jak mam równanie z kwadratem np. \(81x^2=25\), to muszę to robić tak że \(81x^2-25=0\) i dalej na nawiasy, nie mogę poprostu \(x^2= \frac{25}{81} \Rightarrow x=\pm\frac{5}{9} \)

Rozpiska nie jest konieczna,chyba że nauczyciel chce sprawdzać znajomość wzorów skróconego mnożenia...
Możesz zapisać
\(81x^2=25\\x^2=\frac{25}{81}\\|x|=\frac{5}{9}\\x_1=-\frac{5}{9}\\x_2=\frac{5}{9}\)