forum.zadania.info

Oblicz pierwiastki liczby zespolonej:

\( \sqrt[3]{-1 + i}\)

Mógłby mi ktoś pokazać, jak krok po kroku rozwiązać dane zadanie?

Wynik dla z0 powinien być taki: \( \sqrt[6]{2} \)\(( \cos \frac{ \sqrt{2}}{2} + i \sin \frac{ \sqrt{2} }{2} )\)
Wynik dla z1 powinien być taki: \( \sqrt[6]{2} \)\(( \cos \frac{11 \pi }{12} + i \sin \frac{11 \pi}{12} )\)

Nie mam pojęcia, skąd wziął się pierwiastek z 6 w wyniku.

Masz wzór de Moivre'a: jeśłi \(z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), to \(\sqrt[n]{z}\in\{z_0,z_1,\dots,z_{n-1}\},\) gdzie \[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,1,\dots,n-1.\]W Twoim przykładzie jest \(-1+i=2\biggl(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}\biggr),\) czyli \(|z|=2,\) \(\varphi=\dfrac{3\pi}{4}\) oraz \(n=6.\)

A to, co piszesz dla \(z_0\), jest kompletną bzdurą. Przelicz to wszystko wg wzoru de Moivre'a.