forum.zadania.info

Jak indukcyjnie udowodnić prawo podwójnej negacji jeśli chodzi o algebrę Boole`a?

Co to znaczy indukcyjnie? Można je wyprowadzić z aksjomatów algebry Boole'a. To, jakie aksjomaty są przyjmowane, jest kwestią gustu wykładowcy. Więc zanotuj zestaw aksjomatów, którym się posługujesz i spróbujemy to wyprowadzić. Trzeba wzorować się na algebrze zbiorów, gdzie negacją jest dopełnienie. Więc podwójne dopełnienie daje wyjściowy zbiór.

No i prawdę mówiąc można by na tym skończyć. Mamy bowiem twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a: każda algebra Boole'a jest izomorficzna z ciałem zbiorów domknięto-otwartych pewnej przestrzeni topologicznej zwartej i zerowymiarowej. Więc argument teoriomnogościowy jest wystarczający. Jednak jest to strzelanie do much z armaty, bo w sumie mało kto zna to twierdzenie. Bardziej chodzi o ćwiczenie rachunkowe na elementach algebry Boole'a.

\(a + b = b + a \)
\(a \cdot (b + c) = ab + ac\)
\(a + o = a\)

\(a \cdot b = b \cdot a\)
\(a + b \cdot c = (a + b) (a + c)\)
\(a \cdot i = a\)

\(a + \kre{a} = i \)
\(a \cdot \kre{a} = o
\)

\( a + a \cdot b = a \)
\( a + \kre{a} \cdot b = a + b \)
\(a + a = a\)
\(a + i = i\)

\( a \cdot (a + b) = a\)
\(a \cdot ( \kre{a} + b) = a \cdot b \)
\(a \cdot a = a\)
\(a \cdot o = o\)

\( \kre{a + b} = \kre{a} \cdot \kre{b} \)
\( \kre{a \cdot b} = \kre{a} + \kre{b} \)
\( \kre{o} = i\)
\( \kre{i} = o\)

Masz więc prawa de Morgana jako aksjomaty. Spróbuj z nimi. Najpierw może pokaż, że w teorii mnogości dopełnienie dopełnienia to ten sam zbiór, a potem przenieś to rozumowanie na ogólną algebrę Boole'a.