forum.zadania.info

Wykaż, że dla zbioru X z relacją R:
R jest relacją równoważności ⇔ R^(−1)
jest relacją równoważności

widzę, że jest to prawda ale nie potrafię tego sensownie zapisać

Mamy pokazać równoważność. Wystarczy tak naprawdę w jedną stronę, bo \(\left(R^{-1}\right)^{-1}=R.\) Niech więc \(R\) będzie relacją równoważności. Symetria: niech \((x,y)\in R^{-1}\), więc \((y,x)\in R\) i z symetrii relacji \(R\) mamy \((x,y)\in R\), więc \((y,x)\in R^{-1}.\) Podobnie załatw zwrotność i przechodniość.