Gęstość i oczekiwana wartość zmiennej losowej X, wariancje, odchylenie, dystrybuanty

[ThunderDovah]

Witam potrzebuję pomocy z poniższymi podpunktami, jestem totalnie zielony, ponieważ dopiero zacząłem statystykę, a nastawienie i sposób prowadzenia zajęć przez wykładowcę nie pomaga. Oto polecenie do zadania: Wyznaczyć wartości podanych parametrów, tak aby podana funkcja była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Następnie wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, wariancję odchylenie standardowe, oraz wyznaczyć i narysować dystrybuanty zmiennych losowych.



Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam

[panb]

Witam potrzebuję pomocy z poniższymi podpunktami, jestem totalnie zielony, ponieważ dopiero zacząłem statystykę, a nastawienie i sposób prowadzenia zajęć przez wykładowcę nie pomaga. Oto polecenie do zadania: Wyznaczyć wartości podanych parametrów, tak aby podana funkcja była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Następnie wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, wariancję odchylenie standardowe, oraz wyznaczyć i narysować dystrybuanty zmiennych losowych.



Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam

Zasada jest taka:
Funkcja f(x) jest funkcją gęstości jeśli \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x){dx}=1 \)

A jej zastosowanie wygląda tak:

1. \(\displaystyle { \int_{-\infty}^{+\infty}f(x){dx}= \int_{-\infty}^{-1}a{dx} + \int_{-1}^{1}b{dx} + \int_{1}^{+\infty}c{dx}=1 \\
   a(-1+\infty)+b(1+1)+c(+\infty-1)=1 \iff a=0, c=0, b=0,5}\)
   Wobec tego \(f(x)= \begin{cases} 0&\text{dla}&x \le -1\\ \frac{1}{2}&\text{dla}&-1<x\le1\\ 0&\text{dla}&x\ge1 \end{cases}\)
   Wartość oczekiwana \(\displaystyle EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x){dx} = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}x{dx}= \frac{1}{4}x^2|_{-1}^1 =0 \\ E(X^2)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x){dx} = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}x^2{dx}= \frac{1}{6}x^3|_{-1}^1= \frac{1}{3} \)
   Wariancja \(\sigma^2=D^2X=E(X^2)-(EX)^2= \frac{1}{3} -0= \frac{1}{3} \So \text{ odchylenie standardowe } \sigma= \frac{ \sqrt{3} }{3} \)
   Dystrybuanta \(\displaystyle {F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t){dt} \So F(x)= \begin{cases} \int_{-\infty}^{x}0{dt}&\text{dla}&x\le-1\\ \int_{-1}^{x}\frac{1}{2}dt&\text{dla}&-1<x\le 1\\ \int_{-1}^{1}\frac{1}{2}{dt}&\text{dla }& x>1 \end{cases} \\
   F(x)= \begin{cases}0&\text{dla}&x\le -1\\ \frac{x+1}{2}&\text{dla}&-1<x\le 1\\1&\text{dla}& x>1 \end{cases} }\)
   
   Wykres:

   

To wszystko trzeba powtórzyć dla podpunktów b) i c)

[panb]

Witam potrzebuję pomocy z poniższymi podpunktami, jestem totalnie zielony, ponieważ dopiero zacząłem statystykę, a nastawienie i sposób prowadzenia zajęć przez wykładowcę nie pomaga. Oto polecenie do zadania: Wyznaczyć wartości podanych parametrów, tak aby podana funkcja była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Następnie wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, wariancję odchylenie standardowe, oraz wyznaczyć i narysować dystrybuanty zmiennych losowych.



Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam

1. zrobione
2. spróbuj samodzielnie
3. spróbuj samodzielnie
4. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x){dx}=1 \iff \int_{- \frac{\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} }A\cos x{dx}=1 \iff A(\sin \frac{\pi}{2}- \sin(- \frac{\pi}{2} )=1 \iff 2A=1 \iff A= \frac{1}{2} \)
   Zatem \(\displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}\cos x&\text{dla}&x\in \left(- \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)\\0&\text{dla}&\text{pozostałych }x \end{cases} \)
   Wartość oczekiwana \(\displaystyle { EX= \int_{- \frac{\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} }x \frac{1}{2}\cos x {dx} = \begin{vmatrix} \text{przez części}\\u=x&u'=1\\v'=\cos x& v=\sin x\end{vmatrix}= \frac{1}{2} \left(x\sin x|_{- \frac{\pi}{2} }^\frac{\pi}{2}- \int_{- \frac{\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } \sin x {dx} \right)=0 \\
   E(X^2)= \frac{1}{2} \int_{- \frac{\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} }x^2\cos x{dx} =\ldots = \frac{\pi^2-8}{4} \\
   \sigma^2=D^2(X)=E(X^2)-(EX)^2= \frac{\pi^2-8}{4} \So \sigma= \frac{ \sqrt{\pi^2-8} }{2} }\)
   Dystrybuanta \(\displaystyle F(x)= \int_{-\infty}^{x}f(t){dt}= \begin{cases}0&\text{dla}&x\le - \frac{\pi}{2}\\ \frac{1}{2} \int_{- \frac{\pi}{2} }^{x} \cos t{dt}&\text{dla}&x\in \left(- \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)\\1&\text{dla}&x\ge \frac{\pi}{2} \end{cases}= \begin{cases}0&\text{dla}&x\le - \frac{\pi}{2}\\ \frac{1+\sin x}{2} &\text{dla}&x\in \left(- \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)\\1&\text{dla}&x\ge \frac{\pi}{2} \end{cases} \)
   Wykres: