Strona 1 z 1
pomoc w kwestii geometrii analitycznej
: 28 wrz 2020, 09:53
autor: lukahils2
wyznaczyć równanie prostej, której odległości od punktów p (0,0), q (1,0) i r (0,1) są proporcjonalne odpowiednio do 1,2,3
odpowiedź to x + 2y + 1 = 0, rozwiąż to bez rachunku różniczkowego, jeśli to możliwe
Re: pomoc w kwestii geometrii analitycznej
: 28 wrz 2020, 15:47
autor: panb
lukahils2 pisze: ↑28 wrz 2020, 09:53
wyznaczyć równanie prostej, której odległości od punktów p (0,0), q (1,0) i r (0,1) są proporcjonalne odpowiednio do 1,2,3
odpowiedź to x + 2y + 1 = 0, rozwiąż to bez rachunku różniczkowego, jeśli to możliwe
Niech szukana prosta ma równanie
\(Ax+By+C=0,\,\, A^2+B^2>0\). Wtedy warunek z zadania można zapisać jako:
\(2\cdot \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}= \frac{|A+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \quad \) oraz
\(\quad 3\cdot \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}= \frac{|B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\). Po przekształceniu otrzymamy
\( \begin{cases} 2|C|=|A+C| \\ 3|C|=|B+C|\end{cases}\). C nie może być równe zero, bo wtedy A=B=0.
Zatem
\(C\neq 0, \text{ wtedy } \begin{cases} 2|C|=|A+C| \\ 3|C|=|B+C|\end{cases} \iff | \frac{A}{C}+1 |=2 \text{ oraz } | \frac{B}{C}+1 |=3 \iff \begin{cases} \frac{A}{C} +1=2 \vee \frac{A}{C}+1=-2 \\ \frac{B}{C}+1=3 \vee \frac{B}{C} +1=-3 \end{cases} \).
To Prowadzi do serii bolesnych układów równań:
- \( \begin{cases} \frac{A}{C} +1=2 \\ \frac{B}{C}+1=3 \end{cases} \)
- \(\begin{cases} \frac{A}{C} +1=2 \\ \frac{B}{C}+1=-3 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} \frac{A}{C} +1=-2 \\ \frac{B}{C}+1=3 \end{cases}\)
- \(\begin{cases} \frac{A}{C} +1=-2 \\ \frac{B}{C}+1=-3 \end{cases}\)
Rozwiążę 1 i 3. Reszta - ty.
1.
\( \begin{cases} \frac{A}{C} +1=2 \\ \frac{B}{C}+1=3 \end{cases} \iff \frac{A}{C}=1 \wedge \frac{B}{C}=2 \iff A=C \wedge B=2C \)
To daje równanie prostej
\(Cx+2Cy+C=0 /:C \So x+2y+1=0\) - tak jak w twojej odpowiedzi, więc nie sprawdzam.
2.
\(\begin{cases} \frac{A}{C} +1=-2 \\ \frac{B}{C}+1=-3 \end{cases} \iff \frac{A}{C}=-3 \wedge \frac{B}{C}=-4 \iff A=-3C \wedge B=-4C\)
To daje równanie prostej
\(-3Cx-4Cy+C=0 /:(-C) \So 3x+4y-1=0\)
Sprawdzam, czy spełniona jest proporcja 1:2:3.
Odległość od (0,0):
\( \frac{|-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}= \frac{1}{5} \), Odległość od (1,0):
\( \frac{|3-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}= \frac{2}{5} \), Odległość od (0,1):
\( \frac{|4-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}= \frac{3}{5} \)
Zatem wymagana proporcja zachodzi i mamy drugą prostą spełniającą warunek z zadania:
\(3x+4y-1=0\)
Wygląda, że takich prostych jest więcej! Pozostałe znajdziesz w podobny sposób.