Uprość
: 22 wrz 2020, 21:41
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\( \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} \)
\( \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} \)
\(x\geq 1\\\)
\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} =\\
\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=\\
\sqrt{(\sqrt{x-1})^2+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2\sqrt{x-1}+1}=\\
\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=\\
|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\\
\sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|=\begin{cases}\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1\mbox{ dla }x\in [2,\infty)\\ \sqrt{x-1}+1-\sqrt{x-1}+1\mbox{ dla }x\in [1,2) \end{cases}=\\=\begin{cases}2\sqrt{x-1}\mbox{ dla }x\in [2,\infty)\\ 2\mbox{ dla }x\in [1,2) \end{cases}\)