forum.zadania.info

zad.1 W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę \(30^\circ\) oraz \(|AB|=3\), \(|BC|=4\), \(|AC|=6\). Uzasadnij, że na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

zad.2 Udowodnij, że suma odległości dowolnego punktu leżącego na podstawie trójkąta
równoramiennego do jego ramion nie zależy od wyboru tego punktu.

zad.3 W trójkącie o bokach długości \(a, b, c\) środkowe poprowadzone do boków \(a\) i \(b\) są do siebie prostopadłe. Udowodnij, że \(a^2+b^2=5c^2\)

zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta
prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy.

zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s

zad.6 Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Uzasadnij, że jeśli AM i AN są średnicami
tych okręgów, to punkty M,B,N leżą na jednej prostej.

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47 zad.1 W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę 30 oraz |AB|=3, |BC|=4, |AC|=6. Uzasadnij, że na
tym czworokącie nie można opisać okręgu.

twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC:
\(|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|\cos\angle ABC\\
36=9+16-24\cos\alpha\\
24\cos\alpha=-11\\
\cos\alpha=-\frac{11}{24}\)
aby można było na tym czworokącie opisać okrąg \(|angle ADC|+|\angle ABC|=180^{\circ}\), czyli \(|\angle ABC|\) musiałby mieć 150 stopni, \(\cos 150^{\circ}\neq -\frac{11}{24}\), zatem na tym czworokącie nie można opisać okręgu.

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.6 Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Uzasadnij, że jeśli AM i AN są średnicami
tych okręgów, to punkty M,B,N leżą na jednej prostej.

skoro AM jest średnicą to kąt ABM ma 90 stopni.
skoro AN jest średnicą to kąt ABN ma 90 stopni.
90+90=180 zatem punkty MBN są współliniowe

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.2 Udowodnij, że suma odległości dowolnego punktu leżącego na podstawie trójkąta
równoramiennego do jego ramion nie zależy od wyboru tego punktu.

trójkąta ABC
podstawa trójkąta - \(|AB|=a\)
ramię trójkąta - \(|AC|=|BC|=b\)
wysokość trójkąta opuszczona na podstawę - h
D - dowolny punkt na podstawie
E - punkt na ramieniu AC, \(ED \perp AC\)
F - punkt na ramieniu BC, \(FD \perp BC\)

\(P_{ABC}=\frac{1}{2}ah\\
P_{ABC}=P_{ADC}+P_{CDB}=\frac{1}{2}|AC||ED|+\frac{1}{2}|CB||DF|\\
\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}b|ED|+\frac{1}{2}b|DF|\\
ah=b(|ED|+|DF|)\\
|ED|+|DF|=\frac{ah}{b}\)
suma jest stała, niezależna od wyboru punktu D

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47

zad.3 W trójkącie o bokach długości a, b, c środkowe poprowadzone do boków a i b są do siebie
prostopadłe. Udowodnij, że a^2+b^2=5c^2

D - punkt przecięcia środkowych
E - środek boku BC
F - środek boku AC
\(|AD|=2x\\
|ED|=x\\
|DB|=2y\\
|DF|=y\\
|AD|^2+|DB|^2=|AB|^2\\
4x^2+4y^2=c^2\)

\(|FD|^2+|DA|^2=|AF|^2\\
y^2+4x^2=\frac{1}{4}b^2\\
4y^2+16x^2=b^2\)

\(|DE|^2+|DB|^2=|EB|^2\\
x^2+4y^2=\frac{1}{4}a^2\\
4x^2+16y^2=a^2\)

\(a^2+b^2=4x^2+16y^2+4y^2+16x^2=20x^2+20y^2=5(4x^2+4y^2)=5c^2\)

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47

zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s

co to jest s?

eresh pisze: ↑26 sie 2020, 18:22

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47

zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s

co to jest s?

pole

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 18:27

eresh pisze: ↑26 sie 2020, 18:22

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47

zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s

co to jest s?

pole

domyślam się, że trójkąta
chcesz pomocy - wpisuj całą treść zadania

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta
prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy.

Tak wygląda sytuacja . Poradzisz sobie z opisem ?

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47

zad.5 W trójkąt prostokątny o polu s wpisano prostokąt. Uzasadnij, że pole prostokąta nie może być większe od 1/2 s

a,b - przyprostokątne trójkąta
x, y - boki prostokąta, x zawiera się w b, y - zawiera się w a
\(0<x<b,\;0<y<a\)

\(\frac{1}{2}ab=s\\
ab=2s\)


\(\frac{a}{b}=\frac{y}{b-x}\\
ab-ax=by\\
\frac{ab-ax}{b}=y\)

\(P=xy\\
P=x\cdot\frac{ab-ax}{b}\\
P=ax-\frac{a}{b}x^2\\
p=\frac{-a}{-2\cdot \frac{a}{b}}=\frac{b}{2}\\
P_{max}=P(\frac{b}{2})=a\cdot\frac{b}{2}-\frac{a}{b}\cdot\frac{b^2}{4}=\frac{ab}{2}-\frac{ab}{4}=\frac{ab}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}ab
=\frac{1}{2}s\)
to jest pole maksymalne, czyli pole prostokąta będzie nie większe od wyznaczonego pola maksymalnego

radagast pisze: ↑26 sie 2020, 18:38

vivimorte12 pisze: ↑26 sie 2020, 17:47
zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta
prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy.

ScreenHunter_330.jpg
Tak wygląda sytuacja . Poradzisz sobie z opisem ?

tak