Strona 1 z 1
Przekątna prostopadłościanu - kąty.?
: 22 sie 2020, 09:27
autor: OwenJoseph
Przekątna prostopadłościanu tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z jednego wierzchołka kąty o miarach \(45^\circ\) i \(60^\circ\). Wyznacz kąt, jaki tworzy ta przekątna z trzecią krawędzią prostopadłościanu.
Za wszelką pomoc wielkie dzięki.
Re: Przekątna prostopadłościanu - kąty.?
: 22 sie 2020, 11:24
autor: eresh
OwenJoseph pisze: ↑22 sie 2020, 09:27
Przekątna prostopadłościanu tworzy z dwiema krawędziami wychodzącymi z jednego wierzchołka kąty o miarach 45∘i 60∘. Wyznacz kąt, jaki tworzy ta przekątna z trzecią krawędzią prostopadłościanu.
Za wszelką pomoc wielkie dzięki.
a,b,c - długości krawędzi prostopadłościanu
\(\sqrt{b^2+c^2},a,\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) - boki trójkąta prostokątnego z kątem
\(45^{\circ}\)
\(\sqrt{b^2+c^2}=a\\
b^2+c^2=a^2\)
\(\sqrt{a^2+c^2},b,\sqrt{a^2+b^2+c^2} \)- boki trójkąta prostokątnego z kątem
\(60^{\circ}\)
\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2b\\
\sqrt{a^2+a^2}=2b\\
a\sqrt{2}=2b\\
b=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
wracając do trójkąta
\(45^{\circ}\) mamy:
\(b^2+c^2=a^2\\
\frac{2a^2}{4}+c^2=a^2\\
c^2=\frac{a^2}{2}\\
c=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\sqrt{a^2+b^2},c,\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) - boki trójkąta z kątem
\(\alpha\)
\(\cos\alpha=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
\cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}}\\
\cos\alpha=\frac{1}{2}\\
\alpha=60^{\circ}\)